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M. W. H. Toung (Cambridge-Genève) referirt über einige 

 seiner neuen Resultate in der Theorie der Fourier' sehen Reihen. 



Auf die Frage « Unter welchen Bedingungen ist eine trigo- 

 nometrische Reihe eine Fourier'sche Reihe? » giebt er folgende 

 Antworten : 



a) wenn die obere und untere Grenzfunktion \](x) und L{x) 

 zwischen endlichen Schranken liegen, wobei J] (x) und L{x) 

 die 



Lim ■ S Ja„ cos iix + hn sin nx. 



bedeuten. 



h) wenn mit Ausnahme einer abzählbaren Menge ^-Punkte, 

 die Bedingung a) erfüllt ist, und übrigens/ | \]{x) \ dx und 

 / I \j{x) \ dx existieren. 



Referent deutet auf die Bedingung von Riesz-Fischer im 

 Falle, dass die Funktion f(x), deren Fourier'sche Reihe in 

 Betracht kommt das Quadrat summabel hat, und erwähnt, 

 dass im allgemeinen Fall Bedingungen dieser Art nicht auf- 

 gestellt werden können. Im Anschluss daran führt er trigono- 

 metrische Reihen vor, die auf's Engste mit einer Fourier'schen 



Reihe 



1 "^ 



- ao + ^ {ein cos nx + 5» sin nx) 



2 n=\ 



zusammenhängen, ohne selbst Fouriei-'sche Reihen zu sein, ins 

 Bes. die verwandte Reihe 



2 \hn cos nx — a,i sin nxi 



71=1 ■ 



und die Reihe 



y, (in+i cos nx + bn+i sin nx . 



n=l ' 



Erwähnenswert ist es dagegen, dass die Reihe 



S n"'' (bn cos nx — an sin nx), wo 0<iq, 



stets eine Fourier'sche Reihe ist, wie auch die Reihen 



2 n'' (an cos nx + &« sin nx) 

 n=l 



