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1) g hat beschränkte Schwankung im endlichen oder unend- 

 lichen Intervall (c, z) und im letzteren Falle ^^' g{z) = ist; 



2) /hat beschränkte Schwankung und^ ein absolut konver- 

 gentes Integral im endlichen oder unendlichen Intervall (c, z) ; 



3)/^+p und ^1+^ p haben für <^ < 1 absolut konvergente 

 Integrale, und wenn j3 -< l, die Konvergenz im Cesaro'schen 

 Sinne verstanden ist. 



Endlich gibt Referent einen Entwurf einer allgemeinen Theo- 

 rie der Summationsverfahren für die Fourier' sehe Reihe, welche 

 diejenigen von Cesàro-Fejér, de la Vallée Poussin, Poisson u.a. 

 umschliessen. Diese Verfahren zerfallen in zwei x\bteilungen : 



a) Folgen endlicher Reihen, 



ei Folgen unendlicher konvergenter Reihen. 



Die Methode stützt sich auf die schon besprochene Integra- 

 tion im Falle 1) mit s = qo . In der Gleichung 



/ \f{x + U) + fix - u\ \]k(t)dt = ~ ßo / '^k{t)dt + 







JJkit) COS 7ikt dt 



, 



lassen wir k gegen Null abnehmen. Wenn U von k unabhängig 

 ist, so nimmt die linke Seite unter leicht angebbaren Bedin- 

 gungen die Gestalt eines konstanten Vielfachen des ersten der 

 Ausdrücke 



^fix + 0) + lf{x- 0), Lim- j F,(^ + h)- F,{x - h)/21i, 

 Lim. J Q^,(^. ^ ,,, ^ G,,^ ^ ;,) j /2;,2 



an, welcher bestimmt und endlich ist^ wobei 



Fi(a3) = I f{x)dx,F2{x) = i dx 1 f{x)dx,.... 







G,_{x + h) = Foix + h) - F2(re) - hF,{x), u. s. w. 



Die Methode auf die abgeleiteten Reihen der Fourier'schen 

 Reilie angewandt, giebt unter geeigneten Bedingungen die 

 entsprechenden Ableitungen/',/" 



