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l'intervalle ( — 1, +1) et assujettie à la seule condition d'être 

 intégrable en valeur absolue dans l'intervalle ( — 1, -j-lX Pfc (x) 

 désignant le A;'^'"« polynôme de Legendre et 



+1 



21c + 1 r 



au = 



la série 



au = "^^ — ~ I f{x) ?/,(«) dx 



a» + X «fc 'Pk{x) 

 est la série de Legendre def{x). Posons 



'* n(n — 1) . . . (n — Te + 1) t. , x 



^»î n{n - 1) . . ■ (ot- fc + 1) 

 ;^^i (w + 1) (»î + 2) . . . {n + ft) 



on démontre que 



lim. inf. Si! = lim. inf. X«- lim- sup. S» = lim. sup. X" 



Il suffit donc d'étudier l'une de ces deux expressions. Or, ici, 

 c'est S« qui se prête le mieux au calcul. 



Tiiéorème. S« (x) converge versf(x) en tout point de continuité 

 de la fonction. La convergence est uniforme dans tout intervalle 

 entièrement intérieur à un intervalle de continuité de f En tout 

 point de discontinuité de première espèce, S« (x) converge vers 



■ f{x + 0) -i-f{x — 0Ì 



2 



Plus généralement, Sn (x) converge vers la dérivée de l'intégrale 

 indéfinie def (x) en tout point oii cette dérivée existe. 



Dans ce théorème comme dans les suivants, nous supposons 

 pour abréger, que le point x est un point intérieur de l'inter- 

 valle ( — 1, -{- 1). Je note encore le théorème suivant : 



Théorème. SiJ(x) est bornée dans un intervalle (a, ßV S« (x) 

 reste compris dans (a, ßj entre les limites inférieure et supérieure 

 de f(x) dans ce même intervalle. 



Ce qui constitue le principal avantage du procédé de som- 

 mation que nous étudions et ce qui le distingue du procédé de 



