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Somit ist 



S = s.süy's s = Sy' 



oder 



y'^ni"). (1) 



Wenn l ungerade ist, so ist y ^ ±: l (l"). Dem Fall 

 ?/ = + l (l") entsprechen Kreiskörper, dem Fall y = — 1 (l^) 

 Körper der komplexen Multiplikation. 



Wenn dagegen 1=2, so gibt es ausser den Lösungen ?/ =± 1 

 (mod 2^) noch die weitern 



2/= ± 1 + 2"-i(niod2'').(v > 2) 



Während die ersten Lösungen wieder auf Kreiskörper bezw. 

 Körper der singulären Moduln führen, fragt es sich, ob auch 

 im letzten Fall Körper existieren. Das ist in der Tat der Fall, 

 wie der Vortragende f ür v = 3 zeigt. Nimmt man 



X = i = |/- 1 ; 2/ = J/2 

 so hat X die Gruppe s, wo5- = 1. Geht man zum Körper K 



{i, y 2), so kann man, da die 8. Einheitswurzel durch '_ 



y 2 



gegeben ist, die konjugierten von y so ausdrücken : 



2/1= |/2= y oderwennS =U : — ^j î/i = 2/ 



1 + ^ 8/;, 1 + i Ç 



Ua = — i Y2= — iy 2/3 = S-!/ 



2/4 = - » — |- j/ 2 = - * -^ 2/4 = S'2/ 



y-o = - y ■ y-o = ^*y 



2/6 = - -—TT- 2/6 = S'^?/ 



2/7 = «2/ 2/7 == 8^2/ 



. 1 + i 07 



S« = 1 

 Somit ist s^ ^y die Galois'sche Gruppe von K, und wegen 



„ 1 + i 1 — i ^3 



«§2/ = s -— ^ = — ^ = yi = Shy 

 y y 



wird 



sS = S'^s , oder 2/ = - 1 + 4 (mod 8). 



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