— 133 — 



cipe d'une démonstration, en même temps qu'une généra- 

 lisation ^ 



Les travaux de Newton et de Sylvester, ainsi que leur exposé 

 dans les traités d'algèbre supérieuredePetersen-etdeH.Weber^ 

 renferment bien des lacunes que j'ai essayé de combler, sur le 

 conseil de M. le Prof. D'' Hurwitz. Il s'agissait avant tout de 

 trouver une démonstration complète de la règle de Newton, 

 démonstration qui embrasse tous les cas possibles. 



Voici l'énoncé que je propose pour la règle de Newton : 



Règle de Newton. 



Soit fix) ^ aox^ + aix'^-'^ -!-...+ an-\x -f- a» = , une 

 équation à coefficients réels du rr^ degré (ao =1= 0, an =}= 0). 

 Formons la différence 



iin — i) , 



et considérons, au point de vue des signes, la double suite (I) : 



ao , m , a2 , .... et«— 2 , an— 1 , an | 



+ , Al , A2 , . . . , An— 2 , An-1 , + ) 



Désignons par 

 vP , le nombre total des variations-permanences * de (I), par 

 pF , » » » permanences-permanencesMe(I),etpar 



V, » » » variations que présente la série 



+ , Al , A2 , ... A„-2 , An_i , 4- 



avec les conventions suivantes au sujet des zéros qui peuvent 

 se présenter dans (I) : 



1° Si tti—i =}= «i = m+i = . . . =^ ai+i'-i = ai+i' =t= , 

 i étant l'un des nombres 1,2, . . . , (w — 1), et i', l'un des 

 nombres 1,2, ... {n — i) , on donnera aux zéros représentant 

 ai, ai+i, . . . , ai+i'-i , le même signe que celui de at-i . 



2° Si Afc-i =1= Afe = Afc+i = . . . =r= Afc+fc'-i = Afc+fc' 4= , 



1 J.-J. Sylvester, Transactions of the Royal Irish Acadeìny ,vo\. 2'^, 1871. 

 J.- J. Sylvester, Philosophical Magazine, 4"'^sér., vol. 31, p. 214. 



2 Jul. Petersen, Theorie der algebraischen Gleichunge7i, 1878, p. 203. 

 ä Heinrich'^' KBER. Lehrbuch der Algebra, 1895,1.1, p.301. 



■• Voir H. Weber, loc.cit. 



