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k étant Tuu des nombres 1 , 2, w — 1) et A-', l'un des nombres 

 1,2, . . . , (w — k) , on donnera, eu général, 



au zéro représentant At , le signe contraire de celui de At-i , 

 » )) Afc+i , le même signe que « Afc-i , 



etc., eu variant toujours les signes; sauf toutefois dans le cas 



où les cik correspondants sont tels que 



Ok-i=t=0 ai = a(.+i = . . . =flt-|-t' ~i = at-|-it' =1= et a/.— i . at+fc'<;0 



Il faut alors que le zéro représentant A.k+v-\ ait le même 

 signe que At-i-t' . 



Il y a encore un cas d'exception, celui o\if{x) e^ (o; — a)" = 0; 

 dans ce cas Ai = Aj = . . . = A»-i = ; ces zéros-là doivent 

 tous être considérés comme des quantités positives, 



La règle de Xewton s'exprime alors par les formules : 



N+ = vP - 2Âi , X- = i)P - 2Â2 , I = V + 2/I3 



N+ , X- et J désignant les nombres de racines positives, nega- 

 tives et imaginaires de/(a;) = , chaque racine étant comptée 

 autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité. 

 Xj , X2 et X3 sont des nombres entiers non négatifs ^ 



7. M. le D"" D. MiRiMANOFF (Genève'. — Sur quelques points 

 de la théorie des ensembles. (En l'absence de l'auteur, le mémoire 

 est déposé sur le bureau de la présidence.) 



M. Mirimanoft' donne, en se bornant aux ensembles linéaires, 

 une démonstration nouvelle du théorème de Cantoi'-Bendixson: 

 tout ensemble fermé F se compose d'un ensemble dénombrable D 

 et d'un ensemble parfait P. Cette démonstration peut être 

 rapprochée de celles de W. H. Young, F. Bernstein, L. E. J. 

 Brouwer dans lesquelles la partie dénombrable de F est déta- 

 chée à l'aide d'un ensemble d'intervalles auxiliaires convena- 

 blement choisis. Les intervalles auxiliaires de M. Mirimanofl", 

 qu'il appelle crocheta, ont pour extrémités les milieux (ou des 

 points intérieurs quelconquesj des intervalles contigus à F et 

 deux points nrbitraires pris sur les demi-droites extérieures à F. 



' Ladémonstration complète de la règle complète de New ton paraîtra dans la 

 Bulletin de laSociété neuchâleloise des Sciences naliirellcs, t. 40: 1912-1918. 



