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8. M. le Prof. D' W. H. Young, F. R. S. (Liverpool et Genève). 

 — L'intégrale de SUeltjes et sa généralisation. (En l'absence de 

 l'auteur, son mémoire est déposé sur le bureau de la présidence.) 



L'intégrale de Stieltjes est une limite formée de la même 

 manière que l'intégrale d'une fonction continue. C'est la 

 limite d'une somme de termes de la forme /(iCi)A^(a;i) , 

 {^g{xi) = g{xi+\) — gixi)) , g{x) étant une fonction non 

 décroissante. 



Lebesgue a montré que l'intégrale de Stieltjes se ramène à 

 l'intégrale de Lebesgue d'une fonction bornée et il a indiqué la 

 possibilité de prolonger l'opération de l'intégrale de Stieltjes à 

 tout le champ des fonctions continues. Il se sert pour cela d'un 

 changement de variable élégant, mais d'application difficile. 

 Il remarque encore que procéder d'une autre manière à cette 

 extension ne lui paraît guère possible. 



Cette dernière remarque ne paraît pas fondée pour celui qui 

 examine la théorie de l'intégration par rapport à une fonction à 

 variation bornée, telle que la développe M. Young. Cette théorie 

 n'exige pas la connaissance des théories modernes de l'intégra- 

 tion, mais procède uniquement par la considération de suites 

 monotones de fonctions. Le principe est le suivant : 



On dira qu'une fonction f (x) possède une intégrale par rapport 

 à une fonction positive non décroissante g (x) , si elle peut s'exprimer 

 cmnme limite dhine suite monotone de fonctions t\ , fg . ... dont les 

 intégrales par rapport à g (x) sont déjà définies, pourvu que la 

 hmite des intégrales de toute suite ayant ces propriétés soit la même 

 et ait une valeur finie. Cette limite s' appeUeV intégrale de ï{x) par 

 rapport à g (x) . 



En partant de fonctions constantes h l'intérieur (au sens 

 étroit) d'un nombre fini d'intervalles, ou obtient au moyen de 

 suites monotones de fonctions des fonctions de classes l, u, lu, id, 

 lui, ulu, ... etc, ... et des fonctions qui n'appartiennent à aucune 

 de ces classes. Après avoir démontré l'unicité du problème d'in- 

 tégration pour les fonctions de classes l, u, lu et ul, on se sert 

 ensuite du théorème suivant : 



Etant donnée une fonction f(x), bornée et représentable analy- 

 tiquement, on peut trouver une fonction lu qui ne dépasse pas f(x) 



