— 136 — 



et une fonction ul qui n'est pas moindre que f(x), ces deux fonc- 

 tions auociliaires ayant la inème intégrale par rapjioH à une 

 fonction positive non décroissante g x) . 



Par conséquent, toute fonction bornée représentable analyti- 

 quement a une intégrale par rapport à une fonction positive 

 non décroissante. L'extension aux fonctions non bornées se fait 

 sans nouvelles difticultés et le passage à intégration par rapport 

 à une fonction à variation bornée est immédiate. 



Un exemple de l'utilité de l'intégration par rapport à une 

 fonction à variation bornée nous est donnée dans la théorie 

 des séries trigonométriques. De même que l'intégrale de 

 Lebesgue a élargi le champ des séries trigonométriques ma- 

 niables en étendant la signification de l'expression s&rie de 

 Fourier, l'intégration par rapport à une fonction à variation 

 bornée a permis à M. Young d'agrandir encore plus ce champ 

 en remplaçant la classe des séries de Fourier par la classe plus 

 étendue des séries obtenues par dérivation terme à terme des 

 séries de Fourier des fonctions à variation bornée. Parmi les 

 propriétés des séries de Fourier qui restent vraies pour cette 

 classe plus étendue, M. Young en cite deux : iMes coefficients 

 d'une série impaire (paire; de cette classe, introduits comme 

 multiplicateurs dans une série de Fourier (dans sa série alliée), 

 engendrent la série de Fourier d'une fonction de même somma- 

 bilité que celle de la fonction associée à la première série de 

 Fourier; 2° une telle série converge (C^) ou (Co) (0<C§<C1) 

 presque partout vers la dérivée de la fonction à variation bornée 

 attachée à cette série. 



Le mémoire se termine par une démonstration en quelques 

 lignes et n'employant que des théorèmes bien connus d'un 

 résultat établi jadis par M. Young au moyen d'un raisonnement 

 long et difficile faisant usage du changement de variable indiqué 

 par Lebesgue. 



9. Prof. RuDio (Zurich) berichtet kurz ühe7' den Stand der 

 Euler ausgäbe. 



Bis jetzt sind 9 Bände erschienen (Herr Prof. Matte?- hatte 

 die Freundlichkeit, die Bände aus der Kantonsbibliothek her- 



