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Gravitationstheorie von Einstein hat es sich als notwendig er- 

 wiesen, die Vektoranalysis auf eine allgemeinere analytische 

 Basis zu stellen. Denkt man sich die in Betracht fallende Man- 

 nigfaltigkeit auf ein beliebiges krummliniges Koordinaten- 

 system bezogen, so hat das Linienelement die Form 



ds^ = V Qikdxidxk ; (t , fc = 1 , 2 , 3 , 4) 



ik 



Führt man beliebige neue Koordinaten ein gemäss den 

 Formeln 



Xi = Xi{x\ , x'o , x'3, x'i) , (i = 1 , 2, 3, 4) 



SO dass 



dxi = 7 ,—-7' dx'k = 7 pikdx'k 



k k 



oder 



dx'i = 2, 3 — " d^'' = / Jikidxk 



k k 



ist, so transformieren sich die Koeffizienten git nach den 

 Formeln 



g'r, = V pikpksgik 



ik 



wenn ds ein Skalar sein soll. Unter einem kovarianten Vektor A 

 verstehen wir den Inbegriff von vier Funktionen Aiix^^x^x^x^) , 

 die sich transformieren nach den Formeln 



A'. = y^ pkiAk 

 k 



Dagegen sei A ein kontravaricmter Vektor, wenn seine Kom- 

 ponenten Ai sich transformieren nach den Formeln 



A'. = ^ JikiAk 



k 



Bildet man aus den Komponenten Ai, B& zweier kovarianten 

 Vektoren die 16 Produkte 



Tik = A.Bk 



