168 



giltighet anföra: y)weil dann alle die Sätze — — 

 — verlieren)), uppenbarligen en följd af något för- 

 hastande, kan jag icke underlåta att på förhand 

 här uttala den anmärkningen, att vilkoret om de 

 högre deri vätornas continuerlighet, annat än i 

 granskapet af x=o, såsom oundgängligt för of- 

 vanstående formels giltighet, synts mig nog hårdt 

 och derföre äfven något misstänkt. En noggran- 

 nare undersökning af ämnet har bragt mig till 

 öfvertygelse om denna anmärknings befogenhet, 

 åtminstone så vidt den rör deri vätorna ofvanora 

 den 2:dra. Och då i sjelfva verket hufvudfrå- 

 gan — frågan om de gränser, mellan hvilka en 

 uppgifven function med all säkerhet låter ut- 

 veckla sig i bemälta serieform — är en af ve- 

 tenskapens vigtigaste, men deductionen af dess 

 svar, ja till och med sjelfva svaret, sådant det 

 hittills blifvit gifvet % icke synts mig rätt till- 



* I detta afseende torde följande anteckningar rörande Hr 

 Cauchy's åtgöranden i saken icke sakna sitt intresse. — 

 Det var i en Mémoire af år 1831, lithografierad i Tu- 

 rin 1832, som Hr Cauchy för första gängen ofTentlig- 

 gjorde det kriterium, hvarom här är fråga, på de fall, 

 i hvilka functioner af en variabel låta utveckla sig i 

 serier. Der hette det (se t. ex. Liouville's Journ. 

 T. XI, pag. 313): »La fonction sera développable en une 

 serie convergente ordonnée suivant les puissances ascen- 

 dantes de x, si le module de la variable reelle ou ima- 

 ginaire x conserve une valeur inférieure å celle pour 

 laquelle la fonction f[x) cesse d'étre finie et continue». 

 Men några år sednare yttrar han i en )i^Note sur l'inté- 

 gration des équations différentielles des mouvements 

 planétairesy», införd i hans Exerc. d'anal, et de phys. 

 mathém. T. I (tr. 1840), på sid. 29: »Je me bornerai 



å donner Vénoncé precis, et la demonstration 



d'un theoréme fondamental» , omedelbart hvar- 



efter detta theorem énonceras sålunda: »a:- désignant une 

 variable reelle ou imaginaire, une fonction reelle ou 

 smaginaire de x sera développable en une serie conver- 



