180 



Theor. 4. 



Så ofta som, jemte det att en function F[x) är 

 reel och continuej-lig mellan x = Xo och x=^X, dess 

 derivata, så länge man icke öfverskrider dessa grän- 

 ser, städse är en finit och determinerad qvantitet; är 



(11) —^= någon medelvalör mellan nämnda 



° derivatas minsta och största valörer 



mellan gränserna. 

 Häraf följa, såsom Corollarier, dessa båda 

 satser : 



l:o) Så ofta som, jemte det att Fix) är reel och con- 

 tinuerlig mellan x=Xo och Xz=zX, dess derivata mel- 

 lan samma gränser är — en function F'(x^, som äfven 

 är continuerlig mellan desamma, så finnes med all sä- 

 kerhet någon medelvalör ^ mellan Xq och X, som gör 



(12) F{X)—F{x,)=^{X~x,)F'{l); 



och 2:o) i fall att man om en för öfrigt obekant 

 function af x känner åtminstone så mycket, att dess 

 derivata, så länge man icke öfverskrider ett par grän- 

 ser, emellan hvilka functionen är reel och continuerlig, 

 städse är =o; kan man vara förvissad, att functio- 

 nens valör är oförändradt densamma (constant) för 

 alla x-valörer mellan gränserna. 



Anm. I sammanhang härmed förtjenar anmärkas, 

 att detta sednare corollarium i sjelfva verket 

 gäller, äfven om ordet ))reeh deruti utelemnas, 

 såsom tydligt är deraf, att, så ofta som 

 F{x') är continuerlig mellan x^ ocli X, den 

 (se Anm. näst före art. 3) städse kan re- 

 presenteras med 



neml. A^ och B^ hvardera reel 

 och continuerlig function af ic 

 mellan gränserna, 



