197 

 Derat' följer omedelbart, alt runctioiierua 



(3) l{Ux), {Uxf, 



hvilken j)0.sitiv eller negativ 

 ({vaiiLitet än fx må vara, 

 äro coiitiiiuerliga fnnctioner af x för Ii varje upp- 

 gifveii a;-valör med modul <1, ja (hvad än mera 

 är) för livarje sådan a?-valör, alt \-\-x har posi- 

 tiv reel del. 



Anm. Deremot behöfver man, för att visa, att 

 dessa funetioner (3) icke (ens för positiva 

 ^-valörer, annat än hela tal) äro continu- 

 erliga för hvurje a;-valör med modul ^1, 

 endast erinra derom, att 



/(—A), neml. A en positiv qvant., 

 har två särskilda valörer, nemligen l(A)±7r{, 

 — hvaraf följer, att de ifrågavarande fun- 

 ctionerna äro disconlinuerliga (bland annat) 

 för hvarjc negativ a;-valör, som är nume- 

 riskt = eller>i *. 



Ex. ^. Atl fuiictionerna 



//ix X . e^ —e e +e 



('+) e , sina;= — , cosa7= 



För att gifva ett exempel derpa, att det CAUCHY'ska kri- 

 teriet på legitimiteten af Maclal'R1N's theorem är otill- 

 räckligt, i thy att deruti intet förbehåll angående de 

 högre derivatornas continuitet är omnämndt, anför Hr 

 TcHKiucHEFF (se Crelle's Joumal T. 28 sid. 283) 

 functionen 



förmenande, att väl den functionen sjelf och dess l:sta 

 ijerivata, men icke don 2:dra och följ. derivator, äro con- 

 tinuerliga för z^= — 1. — Af det ofvanstäende är klart, 

 att don förra delen af detta förmenande saknar grund, 

 och att således det anförda exemplet ingalunda är tjen- 

 ligt för det afsedda ändamålet. 



