207 

 eller, för h varje (iippgifvet) x med modul r<^H, 



F(x)=--e [0' (\r)+l.^h' iK,r)]. 



Häraf alltså Hiljande 



Theorem 'I. 



Så ofta som, jemte det att F(x) sjelf är conti- 

 nuerlig för hvarje (uppgifvenj x-valör med modul (r) 

 under en viss gräns R, dess m första derivator för 

 hvarje sådan x-valör låta rätt uttrycka sig genom 

 functioner ■;; 



{U) F\x),F"{x), F^%)'- 



af samma (förstnämnda) egenskap, och derjemte så 

 väl functionen sjelf som de m — 1 första ibland dessa 

 derivat functioner äro =0 för x=o; så är, för hvarje 

 sådan x-valör, 



(14) ^W=;j« [9 M+t^ {Kr)], 



neml. X, och X, ett par medelva- 

 lörer mellan o och 1, samt (p (?•) 



ocJi v|^"'(r) den reela delen och 

 coeff. för i uti functionen 



mti r^im), ^(\ 



e r (re J. 



Af detta iheorem följer (alldeles sasoin Ex. 

 '2 af K\. 1 näst före art, 5 i förra §), att om f[x) 

 är continuerlig för hvarje (uppgifven) x-valör med 

 modul r under någon gräns B, och dess m första de- 

 rivator för hvarje sådan x-valör äro = functioner f'(x), 



f"[x),....J- [x) af samma egenskap, så (vare sig att 

 den funtionen och dess m — I första derivator äro=o 

 för x=o, eller ej) är, för hvarje sådan x-valör, 



