209 



Tlieorem 2. 



Om f{x) är continuerlig för x=^o, och dess m 

 jörsta derivator för Jivarje x-valör med modul under 

 någon gräns, den må nu ock vara huru litet tal som 

 helst, rätt uttryckas genom functioner (16), som ock 

 äro continuerliga för x = o; så är, för hvarje A med 

 indelinit liten modul, 



(•')/(A)=/(o)+^Ao)+|,./"(o)+.... + ^— /'"--"(o)^ 



nend. J någon, med A evanesce- 

 rande, indefinit liten qvantitet *. 



Det är dock egentligen nedanstående Corol- 

 lariuin af denna sats, som i det följande af denna 

 uppsats kommer att tillämpas. 



Om F(s) är continuerlig för z = a, och dess 

 m ffirsta derivator för z = a ocli för hvarje annan 

 s-valör, sådan att difFerensen mellan den och a 

 är till mocJuleu mindre än någoL visst tal, detta 

 må nu ock vara huru litet som helst, rätt ut- , 

 tryckas genom functioner 



(18) m^-\r{^),-%'%\ 



som ock äro continuerliga för z = a; så är 



^(a+x) just en sådan /{x), som i 

 Theor. 2 nämniU^s. 



* Om verklifien äfvoii don m:te derivatans continuerlighet 

 för x = o är niidvändis för denna formels giltighet, eller 

 om det i sjelfva verket gör tillfyllest, att »functionens 

 m:te derivata för x=o->:> är en finit och determinerad 

 qvantitet (jemf. formeln (8) liär ofvan), det är en fråga, 

 hvartill ett fullt pålitligt svar torde vara lika svårt att 

 finna som det, åtminstone här, kan latteligen umbäras. 

 K. V. Akad. Handl. 1852. 1* 



