222 



än den MAcr,AURiN'ska, så ofta functionen derjemte 

 är sådan, att dess 5:e och följande derivator (så långt 

 man än må fortgå) för hvarje x-valör med modul 

 under någon gräns, denna gräns må nu ock vara 

 huru litet tal som helst, låta exprimera sig genom 

 functioner f"'(x). f^ix) &c., som äro continuerliga 

 för x=o. 



Anm. Det är till och med mycket sannolikt, att 

 denna sist nämnda egenskap hos de högre 

 deii vätorna är en nödvändig följd af de i 

 theoremet nämnda egenskaperna hos fun- 

 ctionen och dess tvenne första derivator, 

 och att således serien, i hvilken functionen, 

 då dessa sednare egenskaper äro förhanden, 

 kan developperas, städse och nödvändigt är 

 den MACLAURiiN'ska. Vi lemna den saken 



^^^^- är = ^1 + B^x + B^x' + etc. 



X 



samt 



/?!= lim — =f'(p). 



(x=o) ^ 



Vidare följer nu af formelns 



f{x) =f[o) + xf'[o) + B,_x^ + ^3^' + etc. 

 giltighet för hvarje x [o inclusive) med modul </J, att 



1 io) 



är =^2 + ^3^+ 6tc. 



X 



för hvarje x med positiv modul <i?, äfven indefmit 

 liten, samt 



B 2= hm = lim := , 



(x=o) a: (a^o) * 2 



eftersom 2:dra derivatan för 

 hvarje x med modul under nå- 

 gon gräns var = en f"{x) con- 

 tinuerlig för x=o. 

 O. s. v. 



