Xi 



Tillä™ {till N). 



Analytiskt bevis af satsen, att centren är bästa 

 hempunkten. Låt u och (p {(ig. b) Tab. I. värd polar- 

 cooi dina ter för en curva med centre, h vilken Lages 

 Lill pol, så är u en sådan funktion af <p=f<p, alt 



den ej ändras, när (p ökas med 7r, ulan fvr+(p=f(p. 

 Vi påstå nu. att den af en sådan curva inneslutna 

 figurens distanssumina relativt till centern är min- 

 dre än när distanserna lagas (rån hviiken annan 

 punkt som helst (eller åtminstone i närheten deraf), 

 Ty låt den tagas från någon annan punkt D, så 

 kunna vi taga CD till axel, som med hvarje 

 stråle CP = u bildar en vinkel Q; och dock är 



u=f(p=f£+(p. Sätt PD=z, CD=e vinkeln PDC=Y, 

 så är z 2 =u*+ < 2ue-C(p+e' i samt zSy=uS<p och zCy=* 

 = e+uC(p. Figurens distanssumma (rån D blir så- 

 ledes = /T 6 ^' fu o et ^ u Y— I- i 1 i y = 2^"; men 

 det bör finnas något värde å e, för hviiken den 



~dy=o, eller 



fz 2 dzdy = o. Men zd z ~ e + uC(p t således skall 



fVu 2 + < 2ueC(p+e 2 '{e+uC(pyiy=o. Detta är den tran- 

 scendenta eqvation, som skulle lösas. Men så länge 

 u=f(p ej är närmare bestämd, kan eqvationen ej 

 heller närmare angifvas. Vi säga dock, att dess 

 lösning är e = o Ty sättes e = o, så blir Y — (p och 



/2n 

 u 2 Cydy—o, men detta inte- 



o 



/TI 

 \é 2 Cydy + 



K. V. A. Harull. 1849. 



