417 



matisk lärare i London, som från dess beräk- 

 nade tabell fann dess Analytiska uttryck (genom 

 Log. Tång.) och kungjorde det 1645 i Norwoods 

 »epitome of Navigation». Men denna vigtiga 

 satts i integral-räkningen (som är nästan den 

 enda på så empirisk väg funna), förblef länge 

 obevist, tills Nic. Mercator (Kaufman) fann kla- 

 ven dertill och framställde beviset till ett täf- 

 lingsämne i London 1666, utan att man för 

 detta fann någon omedelbar lösning, förr än 

 Mercator kungjort i sin Logarithmotechnia den 

 vigtiga serien för Log(1 + £c), h vilken gaf anled- 

 ning till en högre Analysens lyftning. Nämnde 

 serie, som numera kan elementärt bevisas och 



1 



har sin uppkomst från utvecklingen af un- 

 der formen 1 — x + x^ — x^ + x''- • -- uttrycker en 

 Hyperbols area emellan Assymptotiska coordi- 



nater och afger således ett integral /- = 



^ 1 -\- X 



=:L('\ + x) = x — — + -Z H 5 som i sis^ inne- 



^ 2 3 4 ° 



håller otaliga andra, nemligen först quadraturen 

 af alla parablar eller fx''dx=.—~ och så af alla 

 paraboliska lineer nemligen f{a^ + a^x-\-a^x^-\- 



(i/ 1 JU UjtyJb 



UgX^ -\ ) = UqX + -^ — h -~- -\ och derigenom 



arithmetiska integralet för hvarje area emellan 

 ej för vida gränsor. Ty då (p(a-\-x) = (pa + x(p^a + 

 + x^(p^a + x^(pga+ *) , så blir fdx x(p{a + x) = 



= x(pa+—-<Pia + — '(p^a+'-' som är integralet af 



dz {cpzj emellan gränserna z = a och z = a + x 



*) Se mina regulae derivandi. 

 E. V. Akad. Handl. 1854. 27 



