430 



några olägenheter dervid, h varför jag måste tänka 

 på någon annan analog och fann, såsom jag tror, 

 den aldra enklaste och mest praktiska, hvars reglor 

 jag här ernår meddela och med ett och annat 

 tjenligt exempel upplysa. För att dock dertill 

 bana vag, återgå vi till den i början åberopade 

 afhandlingen, der (i noten 1. c. p. 320) anmärkes, 

 att det problem, den löser, noga sammanhänger 

 med en annan märkvärdig fråga, nera ligen att 

 sätta hvarje gifven kontinuerlig funktion fx under 

 sådan form, att man kunde verkställa alla högre 

 analysens grundopeiationer, differentiation {d), in- 

 tegration (f), finit differentiation (A) och summa- 

 tion (2), huru ofta som helst ("quousque libet 

 repetitae") och således med livad exponent, äfven 

 bråk-exponent (r), — således att finna d''fx, d~[fx 

 eller /[fx, /Yfx och '^''fx (=A~'/ir). Jag angaf 

 ock der claven till denna vigtiga fråga, att nem- 

 ligen Jx måste sättas under form af en summa 



af flere exponential-funktioner = fn^e ^ ; äfven- 



som att detta låter sig åtminstone approximativt 

 göra genom lösning af samma system af equatio- 

 ner, som derivat-serien försåg oss med, om nem- 

 ligen fx kan utvecklas under formen kQ+kj^x + 



+ k^x^+ + k^x^+ . . . eller fås fk/^x^. Ty sättes 



IX ax PiO^yOCf 



ik^xT = l\ e " = f rt^ [ -J^' ^^ (om F/a = ^ . r^- 1 ) 



måste tydligen kf^.rM'= t\cLy, som vi kunna sätta 



= Ctt, då vi återfå precis samma equationer: 



Co = £n^, c, = i\a^, Cg = £n^al, c^ = l\a'^, 



som förut, och h vilka derför lösas på samma sätt 

 eller ock genom att sätta serien Cq + c^x + c^x*. . . . 

 eller k^ + k^x+ ].2.k^x^ + ].2.3ksX^ + under 



