435 



som helst, kunna vi välja en viss, som är tjenlig 

 till tle ifrågavaraiule talens bestiimnsande, och 

 denna är p"^. Ty om man gör fx = [i'''', så blir 



/\x = r . c, J\x = r- ]^ ' /s* = /3^"- ^ etc. och Afx = 

 = /3^^. (/S^-l), A^a? = /3^"(/3«-'l)- och i allmänhet 

 å'fx={(i'-])\[i'''. Men då till följe af de lineära 

 equationerna afgjordt vai-, att i allmänhet f^x 

 skall uttryckas under formen 'rA/+^'A"/+ 3'Ay+ 

 4 i'/\f+ .... r'Ay+ . . ., hvarest ■! ', 2', 3', 4', . . . - r' 

 äro bestämda tal, oberoende af funktionens /"form, 

 utan lika hörande till h vilken funktion som helst, 

 så skall särskiidt /3^". c= 'r(/3'^-1)/3'"+ 2'. (/B"- 1)^/3^^+ 



+ SX(i'-])\ 1^'''+ och derför, om vi sätta /3"-1 =^ 



och dividera med /3^% bör c= 1 '. ^+ 2'. y+3V+... r'y, 

 hvaraf följer att dessa tal måste finnas genom att 

 utveckla c efter S. Men emedan /3<'=1+^, så är 



<P fP cJ"-* (Jä (V 



c = L{i +^) = ^-'- + '- -y + ~^ + . . . . -r^-'- och 

 ^ ^ 2 o 4 5 r 



således nödvändigt r'= , hvarfor i allmänhet 



h varje funktions första derivat 'Bf (eller f^x) ut- 

 tryckes genom dess differenser så: åf =■ b.j — \[\^J -\- 



+ iAy-iAy + ...— — A^- TiUika är tydligt, att 

 om vi sätta f^x = i "A/+ 2"Ay'+ 3" Ay+ ... så skall 



särskiidt r- ^ = P"('I "^ + ^"^'+ 3"^'+ • • O = r- ^-^^ 



och således r'^+2'V+3'V+...= 1(^-^ + 1'-^'+..)% 



hvadan dessa tal finnas, om man qvadrerar denna 



serie för ii+l, nemligen 1"= O, 2"=h, 3"=-l, 

 i"=^, 5"= —Y^ etc. Och på samma sätt kan man 



