437 

 A) Då nemligen enligt allmänna interpolatioiis- 



formeln: fx + \ —fx + \lSfx — \.\l^^fx + 14-1 ^^0? — , 

 så blir med införande häraf i föregående serie, 

 om Fx betyder = ffxtx, 



AFx=fx^_ + h.\.^'fx-l.\.l^'fx+ . . . 



eller Afx =fx + ^ + ^A^/b? — ^g Ayb? + . . . och på 

 samma sätt kan här Ayb — iA^b sammanslås till 



Ayir — i + cAyia5 — 1 + . . . så att man nu har aFx = 



= Fx + i — Fx = fx + h + ^k Afx -h + c A*/, h varför 

 AF synes kunna framställas under denna enklare 

 form, nemligen genom h varannan af sjelfva f:s 

 differenser. Huruvida detta lyckas och med h vilka 

 bital formeln gäller, vill jag nu visa i ett bestämdt 

 exempel, Fx = (i'^, som redan varit till så stor nytta. 



Frågan är således, om (när Aas = 2e = f) aFx 



i^ kan framställas under formen 2e{fx+e + AA^x — e + 



I 



+ BA''fx—3e+), åtminstone för vissa funktioner ^a?. 



Låt t. ex., om det är möjligt, Fx = iy'' och 

 Ap'-^= j3'-(^+«)_p™ = 2re(i3'"^^+ /lA'/3'"^-^+ 5A*/3'"^-^^+ . . .), 



2 2 2 



så bör /3'-f-l=r£(,3'-''+ii3"'"ti3'-*-1)'+5/3-^"(/3'-^-1)H...)- 



För att åstadkomma den utveckling, som så- 

 ledes bör bestämma bitalen A, B, C etc, gör 



«'"«_ 1 — 



^—~ =2.<r = [i''— jS"" eller a-=^re (= Hyperb. Sin re), 



så att den storheten, hvarefter ordnandet skall 

 ske, uttryckes med en bokstaf (<r), så fås härur 



