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Bulletin de l'Académie Impériale 
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plicité, doit étre traité séparément, comme cela se 
fait pour les équations différentielles linéaires ordi- 
naires. Dans la note que j'ai l'honneur de présenter 
à l'Académie on arrive trés facilement à l'interpréta- 
tion géométrique du cas cité et en méme temps on 
obtient la solution analytique de la question. 
2. Soit 
l'équation donnée, x et y les variables indépendantes, 
; Mg a RA dz 
z leur fonction, qu'il s’agit de trouver, p = d = dy 
` La fonction f est algebrique, rationnelle et entière. 
Mettons dans l'équation (1) au lieu de p et q les valeurs 
— À, =% et considérons £, n, & comme trois coor- 
données rectangulaires; f (—: $, — je = 0 0 
représente un cône ayant son sommet à l’origine des 
coordonnées £&, v, 6; la forme de ce cône est détermi- 
née par son équation. Dans le cas particulier, lorsque 
la fonction f (p, q) est du premier degré par rapport 
à p et q, ce cóne dégénère en un plan passant par 
l'origine des coordonnées. 
3. En posant E = r cos 9 sin 8, y =r sin o, Sin, 
6 =r cos O0 on donne à l'équation du cône la forme 
suivante: 
Sur la surface du cóne décrivons une courbe arbi- 
traire, dont l'équation soit r — (o), où F est une 
fonction arbitraire de la variable o. Par un point quel- 
conque (E, n, CN ou (o, 0) de la courbe arbitraire fai- 
sons passer un plan perpendiculaire à la génératrice 
correspondante. Soit 
A(z—9-- B(y—*93--C(—9—0 
l'équation de ce plan; il est facile de voir que les co- 
efficients 4, B, C sont respectivement proportionnels 
aux : cos 9 sin 9, sin p.sin Ó, cos 0; par conséquent 
l'équation du plan est: 
cos g.sin 8 
sin @.sin OV — 0 
cos 6 cos 9 ER ee 
cos o sin © (z — Fe, cos q sin 6) + 
. 7 Sin 9 sin 0 (y — F'o.sin o sin 6) 
سه‎ cos 0 (z — Fo. cos 6) = 0, 
ou: | 
sin Ó + y sin o sin 0 + 2 cos 0 — Ft = 0,‏ ب 008 ند 
posant x 2 
011: 
+ .cos Q.sino , 
cos 0 Jy 
sin g.sin 6 Fi 
Bin init cle E 
cos c 
4. L'angle @ peut être éliminé de l'équation précé- 
dente au moyen de l'équation: 
f (— 
Nous écrirons l'équation précédente sous la forme: 
cos @.sin 0 sin 9.sin 0\ — — 0 
cos @ ? cos 6 E 
4 = pz + qy + 09, 
en admettant que p etq sont exprimés en fonctions de 
¢; la fonction O9 est une fonction arbitráire. — 
5. Le plan dont nous avons trouvé l'équation est 
EN à la surface exprimée par l'équation donnée (1). 
Si l'on imagine des plans pareillement construits par 
tous les points de la courbe arbitraire, leurs intersec- 
tions, successives déterminent la surface cherchée et 
nous avons ainsi la construction géométrique de l'équa- 
tion donnée. On peut représenter les différentes posi- 
tions de ces plans en deplacant le plan primitif, c.-à-d. 
en faisant varier dans son équation la variable ọ. En 
différentiant l'équation précédente par rapport à o 
on à: dp i 
e E OQ. 
Le système des deux équations, entre lus il 
D éliminer 9: 
2 = pa + qy +0 
dq 
sn = - وه‎ 
représente l’intégrale générale de l'équation ( donnée. 
6. On voit d'aprés cette solution qu'on. SEN re 5 E 
nir bien simplement de ee | 
cos ب‎ sin 9 
cos 9 
"m — 9 pom "e 
et d'intégrer l'equation (2) par parties. En effet on 
| f» à +1 a) d t 
do * Y 4) 9, et en 
— o, on a la solution 
obtient: 2 — pr + س يون‎ 
dq 
+ 7 de SC 
trouvée. 
FA à PRET en 
E EE TE 2 ME er 5 4 SEH: DEL A :- 
foire Tu SE 
Mons a pe mm UU uw a o ee السو‎ 
Sigg E 
e ce 
RN 
