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| des Sciences de Saint- Pétersbourg. 
` 7. On peut exprimer cette solution d'une manière plus 
concise : il faut chercher quelles sont les fonctions p — 
çu et y = «jo d'une seule variable w, qu'on laisse indé- 
terminée, qui puissent satisfaire à l'équation f ( p, q)— 0. 
La solution de. ce probléme est possible, comme on le 
voit d'aprés les Gë f (5/9) 29 0j p z— — 
etg — E, En mettant ces valeurs 
de p et q dans la uf précédente on a: 
ds zow + yo + Ow et zoo + dg = — 9'o. 
Lorsque la forme de la fonction Ow est donnée, la 
dernière équation servira à déterminer la valeur w en 
| fonction de x et y et en la mettant. dans la premiere 
. équation on aura une intégrale complète de l'équation, 
" exprimée en z, y, 2 et les constantes o et 8 qui doivent 
y être introduites, quand la forme de la fonction Ow 
est donnée. 
. 8. On verra facilement que l'expression de p et de 
و‎ en fonctions d'une seule variahle w n'est pas indis- 
pensable pour avoir une intégrale complete; il suffit 
- d'admettre l'existence de ces expressions. L'intégrale 
générale est exprimée, comme on l'a vu, Soe les deux 
um suivantes: 
= pa + qu + اه هه‎ g P + y + Ow — 0 
Pour avoir l'intégrale complète posons : 
Ow» = Ap + Bq, 
: où A et B sont deux constantes arbitraires; on aura: 
| ou = A+ B 
: Tu pour l'intégrale complète on obtiendra les. deux 
` équations suivantes : | 
omen Ae De ba (1) 
E. m) 
ee u 6ح‎ 
S En diférentiant ee f (p, dg m 0 per Ge 
me À gt EK pre (2). L'élimination don- 
nera 
La dernière Lem servira pour éliminer les dé- | 
d d 
(e + 4) É - (y + B) ح وو‎ 
Puisque la fonction f (p, q) est connue, les valeurs 
d lcg s IM 
f et do sont faciles à déterminer; on voit bien qu'elles 
seront fonctions de p et de q, et que l'intégrale com- 
plète sera connue si au moyen des équations : 
dpa e (y + B)q 
) + 4) Ÿ — (y+ B) = 0 
dq 
f (p, q) = 0 
on élimine p, q de ces trois équations. 
9. Exemple 1. Pour avoir l'intégrale complète de 
l'équation : | 
P^ ف‎ agp + bg = 1 
il ne s'agit que d'éliminer p et q entre les trois équa- 
tions : 
pP + apq + bg? = 1, 
£ — (r + A) p + (y + B) q, 
(© + A) (ap + 204) — (y + B) (2p + aq) = 0. 
Cette élimination nous conduit à l'équation suivante: 
(b — GE ثم‎ = b (x + A)? — a (a + À) (y + B) + 
| + (y + B)’. 
Exemple 2. Pour avoir l'intégrale complète de 
l'équation : 
nesel 
il ne s "agit que d'éliminer p et q entre les trois équa- 
tions: 
E "ني سه‎ = 
aee + À) p + (y + B)q, 
dq ëtt Bp = 0. 
Cette élimination nous donne : 
a = [V æA)" + Y (jy سد‎ B)" | 
. 10. Soit f (p, q) une fonction homogène de degré = T 
n et soit à intégrer l'équation: 
Eë f (D, 9) = os. 
