127 
Bulletin de l’Académie Impériale 
12$ 
Für die Entwickelung von 
(1 — x cos 9 T, 
hat man also in den vorstehenden Ausdrücken r — 2 
und © der Reihe nach = 3, 4, 5 zu setzen. Wegen der 
Geringfügigkeit der Coefficenten Mg, m, ..., ng, n,.... 
wird also die Herstellung von ` 
V 05 COS} > 
Ts 2 Ba in) T 
unter der verlangten Form sehr leicht. Nach zweima- 
liger Wiederholung dieser Operation — da die Be- 
rücksichtigung der beiden ersten Potenzen von T. 
im Allgemeinen ausreichend ist — ergiebt sich (A) ® 
sehr leicht unter folgender Form: 
(A)? = (1 +g cosE-y sinẸ)? (1 — x cosọ)? > BEL ip. 
(1 — x cos oy 
دم 
In 
Aus diesem Ausdruck sollen 
A 
abgeleitet werden. Die dazu nöthigen Entwickelungen 
von 
(A) * 5 cosf', (A 5 sinf' 
(1 + zcosé + y sin E)! (1— x cos 9), 
(1 + zcosE + ysinË) = cos f (1 — x cos oy, 
(1 + x cost + ysin&) 5 sinf (1 — x cos o)! 
nach o erhält man aus den obigen Formeln indem man 
nur zu beachten hat, dass in den Ausdrücken für die 
- W-Coefficienten r = 3 und à = 0,1,2.... 
sind. Die in dieser Weise erhaltenen Entwickelungen 
müssen sehr convergent sein, denn für à — 0, 1, 2,3 
geben die Formeln endliche Ausdrücke für 
(1 — x cos ”زج‎ eiY — 35, 
die keine höhere Potenzenn von e” — 1*, als die dritte 
enthalten und die für gróssere Werthe von i, als 3 
hervorgehenden unendlichen Reihen werden mit klei- 
nen Gróssen von wenigstens der vierten Ordnung in 
Bezug auf die Excentricität des störenden Körpers 
multiplicirt, sie kónnen also nur sehr wenige Glieder 
von Belang liefern. 
In unseren Reihenmultiplicationen ist also immer | 
die eine als Factor auftretende Reihe sehr conver- 
gent. Indem es also gelungen ist eine bedeutende 
zu setzen| 
Convergenz für die ee Potenzen von = und 
folglich auch von (A) °, (A we ;cosf, (A) nt sinf 
herzustellen, erweist sich auch der Weg, auf welchem . 
wir die letztgenannten Grössen erhalten als überhaupt 
sehr bequem. Die einzige zeitraubende Arbeit bei 
diesen Entwickelungen besteht in der Multiplication 
der beiden Reihen für 
(1 — xcoso) ° und {1 + geos(p — Q} 3 
Übrigens beschränkt sich diese Schwierigkeit auf 
nur wenige Special-Werthe in der Nähe der kleinsten 
Entfernung der beiden Bahnen, wo q sehr nahe gleich 
x wird. Dass diese Multiplication sich ausserdem sehr 
übersichtlich ausführen lässt geht aus folgenden Be- 
trachtungen hervor: 
Die Berechnung der Coefficienten i in 
(1 — x cos we 
= AN + 24, cogo + 24/ cos 29 +... 
und ! 
|1--xcos(9— Q)} ? 
= ON + 2a, cosy + 2a, cos 99 +... 
+ 2b sin ọ + 26,0 sin 20 +... 
geschieht am einfachsten nach Hansens Vorschrif- 
ten in «Auseinandersetzung etc.» Es sei ferner: 
(1—xc089) ? fi = q cos (p — o? 
— a, + 2a cos o + 2a,” cos 29 + 20, cos 3p+.. 
+ 28," sine + 28, sin 2p + 28, sin 3 +... 
so ergeben sich folgende Ausdrücke für die Coeff- 
cienten dieser Entwickelung: 
o = Ag 00 4-2 4g 00 + T. Mae. 
= Ama, + LAN 4 (9) q Ma (4, "m Ama 
+ (449 AT ay +... 
a, — Aa (4,9 + 4 mg (+ (4, À Del 
(NIE ALS a, + 
