Bulletin de l’Académie Impériale 
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Valeurs de N: Valeurs de LT 
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Te E 0,002987... 
1 
Hs. o; = 0,010989. 
1 
143......5 = 0,006993... 
Nous remarquerons d'abord que la propriété, ob- 
servée par M. Schlómilch, n'appartient pas exclu- 
sivement aux fractions de la forme As en effet, il est 
N 
facile de s'assurer que ces deux autres fractions 
Nic? N —1 
PPT et 2- 
N H 
converties en décimales, produisent des périodes qui 
possèdent la méme propriété, Ainsi, pour les nombres 
N ci-dessus, nous trouvons: 
N: SE SE 1), 
4,54. 0,804 142807, .0,428*071* 4B. . 
Il. 009090 400... - 0,45**45**45.... 
19... .0,9227070**923.. 0,461*538**461 ... 
77 ....0,987*012**987...  0,493*506**493. .. 
91....0,989*010**989...  0,494*505**494. ., 
143....0,993*006**093...  0,496*503**496. .. 
Les demi-périodes sont marquées d'un seul asté- 
risque*, et les périodes totales de deux e 
On er ra de plus que les périodes de et de 
Se ` ne different entre elles que par l'ordre de leurs 
demi-périodes. 
J'observerai au sujet de la susdite communication 
de M. Schlömilch qu'il existe beaucoup de fractions 
ordinaires qui ne rentrent pas dans le cas que l'Au- 
teur à considéré, et qui, converties en fractions déci- 
males, jouissent, comme les siennes, de la propriété 
relative aux chiffres qui se correspondent dans les 
deux demi-périodes. 
Occupé depuis quelque temps de recherches con- 
cernant certaines fractions tant décimales qu'à base 
de numération quelconque, et dont la dérivation est 
fondée sur la considération des séries recurrentes, j'ai 
été conduit à un grand nombre de fractions qui pré- 
sentent plusieurs particularités curieuses et entre 
autres celle qui a été indiquée par M. Schlómilch. 
Voici l'un des modes de génération de ce genre de 
fractions que j'ai employé: pour déterminer leur chiffre 
décimal d'un ordre quelconque n, je calcule le terme 
du méme ordre n de la série récurrente génératrice; 
soit N la valeur numérique de ce terme. Cela fait, je 
prends pour le chiffre décimal cherché la somme mi- 
nima des chiffres de N, c.-à-d. le reste de la division 
de N par 9, en remplacant le reste zéro par 9. Ainsi, 
par exemple, si l'on avait N — 78, on réduirait ce 
nombre d'abord à 7 + 8 — 15, et le résultat final 
serait 1 + 5 — 6. L'ensemble des chiffres, trouvés de 
cette maniére, formera la période en question. 
Voici quelques résultats de mes recherches sur ce 
genre de fractions. 
Prenons pour premier exemple la fraction décimale 
0, Y Y Yz Lë Dae 9,9595* Gaz (1) 
dont les chiffres successifs se déterminent par la con- 
gruence 
E 
WI Ji k42 "bit 
y sen EOL. (ho: ل‎ 
Nous verrons plus bas que la période sera composée 
d'un nombre pair 2% de termes, sauf le seul cas où 
elle n'en aura qu'un. 
Le calcul de la fraction (1) exige visiblement que 
deux de ses chiffres soient donnés, les deux premiers 
par exemple, et que nous désignerons par a = y, et 
b — y, De plus, pour que la période commence des 
le premier chiffre, nous supposerons que «a et b sont 
tous deux différents de zéro; en outre nous convien- 
drons, comme nous l'avons déjà dit, de remplacer par 
9 tout nombre que l'on trouverait congru à zéro sui- 
vant le module 9. 
L'intégration de la congruence aux différences finies 
(2) conduit à la formule 
le) (a) JC EST leed. a, 0) 
qui servira à calculer la valeur du chiffre d'un ordre 
quelconque m. En faisant successivement 
m — À etc. 
