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des Sciences de Saint - Pétersbourg. 
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on aura 
y =a y, — b, „=a+b y=a+2b etc. 
L'examen circonstancié de la fraction décimale (1), 
formée d’après la loi exprimée par la congruence (2), 
conduit aux conclusions suivantes: 
1°) Toutes les périodes de la fraction (1) commen- 
cent par son premier chiffre décimal. 
2^ Les deux premiers chiffres a et b sont arbi- 
traires, en en exceptant zéro. 
3") La fraction (1) ne peut avoir que des périodes 
de un, de huit et de vingt-quatre chiffres. 
4^) La période unique de un chiffre est évidemment 
0:9999. 
5°) Les périodes composées de huit chiffres sont au 
nombre de huit, nommément: 
0,3369*66397*336.... 
0.369663931369: — . 
0,3933*6966**393... .. 
0,6393*3696**639.... 
0,6639*3369**663.... 
0,6966*3933**696... 
0,9336*9663**933,... 
0,9663*90336**966....) 
wo Cero 
Comme plus haut, nous avons marqué d'un astérisque 
le dernier chiffre de la demi-période, et de deux asté- 
risques la fin de la période entière; de plus on obser- 
vera que ces 8 périodes se réduisent, à proprement 
parler, à une seule, car 7 d'entre elles s'obtiennent 
en faisant subir une permutation circulaire à tous les 
chiffres de la huitième période restante. 
6°) Les périodes de 24 chiffres sont celles qui pré- 
sentent le plus de variété. Ce sont celles qui ne com- 
mencent pas par deux chiffres, dont chacun est divi- 
sible par 3, c.-à-d. par 
38, 36, 89, 
63, 66, 69, 
93, 96, 99. 
Tout autre couple de chiffres significatifs donnera lieu 
à une période de 24 chiffres. Le nombre total de ces 
périodes, comme il est facile de le voir, est de 72 qui, 
à proprement parler, se réduisent aux trois suivantes, 
essentiellement différentes entre elles : 
0,112358437189*887641562819**112... | 
0,224617865279*775382184729**224.... 
0,448325731459*551674268549**448. . | 
(5) 
Les trois périodes qui commencent par les couples 
de chiffres 88, 77 et 55 s’obtiennent respectivement 
par la seule transposition des demi-périodes (5) com- 
mençant par 11, 22 et 44. Quant aux 66 périodes 
restantes, qui commencent par deux chiffres significa- 
tifs différents entre eux et non divisibles par 3, on 
voit de suite que chacune d’entre elles dérive de l’une 
des périodes (5) en faisant subir à ses éléments une 
simple permutation circulaire. 
Après cette énumération détaillée des divers cas 
qui se présentent, nous pouvons conclure en définitive, 
que la totalité des 81 périodes des fractions décimales 
récurrentes, déduites de la congruence (2), se réduit 
à cinq, dont toutes les autres se déduisent par la voie _ 
de simples substitutions circulaires de chiffres sans 
exiger aucun calcul. Ces cinq périodes primitives sont 
d'abord la période à un chiffre 0,999..... , ensuite 
l'une quelconque des 8 périodes (4) et les trois périodes 
(5) à 24 chiffres. Toutes ces périodes jouissent de la 
propriété observée par M. Schlómilch. Les 81 pé- 
riodes trouvées comprennent tous les cas possibles, 
car c'est précisément le nombre total des variations 
à répétition des 9 chiffres 1, 2,3... 9 pris deux à deux. 
Si, au lieu de la congruence (2), nous employons la 
suivante : 
(O 
nous arriverons à des fractions périodiques qui pos- 
sèderont la même propriété ; en voici des exemples: 
0,990... 0.9393766967339... 
0,113785951761*886214948238**113.... 
0,253277342898*746722657191**253.... 
4. = Wn; + y,, — à (mod. 9), : 
- 
Considérons encore les fractions décimales récur- 
rentes, déterminées par la congruence 
p 
Ym (7) 
qui conduit à quelques nouvelles particularités des 
fractions périodiques qui en dérivent. L'intégrale de 
Hr v7 MA, (MON, 9 a 
