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Bulletin de l'Académie Impériale 
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cette congruence est exprimée par la formule très 
simple 
Ym £(2" 7! — 1) (b — a) + a (mod. 9), 
dans laquelle on a posé y, = a et "9 „=b. En obser- 
vant que 
2 — ] — 7.9 = 0 (mod. 9), 
01414. . 0,717..., 0,2825..., 
04141:.., 0,4747...,. 0,5203. 5,, 
DA, S 060104... 05289... 
Viennent en dernier lieu 54 périodes à six chiffres, 
qui jouissent d'une propriété que ne présentent ni les 
périodes indiquées par M. Schlómilch, ni celles qui 
dérivent des congruences (2) et (6). Ces 54 périodes 
affectent neuf formes différentes relativement aux restes 
de la division par 9 de chaque somme des deux chiffres 
qui se correspondent dans les deux demi-périodes de 
la fraction. Ces restes recoivent toutes les valeurs 
1,2, 3....9; pour chacun de ces nombres on trouve 
six périodes, dont cinq arbitraires dérivent de la sixième 
par la voie des substitutions circulaires. Voici entre 
autres neuf de ces périodes, relatives à chacun des 
restes 1, 2, 3... 9; elles serviront à former toutes 
les 45 restantes : 
Restes de la division par 9 
. de la somme des deux chiffres 
correspondants dans les démi- ` 
Périodes déduites 
de la loi de récur- 
iod 
E24 0,167*943**167... 
EIS ls 0,235*986**235. . 
Rc NU 0,278*154**278. . . 
4 eei 0,197*346**197... 
S UA s 0,265*389**265.. . 
c xus 0,218*457**218... 
M M e. 0,764*913**764. .. 
M لم‎ 0,329*568**329... 
go EUM _0,751*248**751. 
Il suit de ce que nous venons de voir, que l'en- 
semble des périodes trouvées, qui toutes commencent 
par le premier chiffre décimal, se compose de 9 pé- 
riodes à un chiffre, de 18 à deux et de 54 à six 
on en conclut de suite que le nombre des chiffres, 
contenus dans les périodes que fournit la loi de récur- 
rence (7), ne dépasse pas six. En effet, on a d'abord ` 
les 9 périodes d’un seul chiffre 
00111 7 210,999.70 389.,,, 
Ensuite 18 périodes, composées de deux chiffres, nom- 
mément 
0,2828..., 0,3636..., 0,3939. 
0,5858..., 0,6863...; 0,9696... 
0,8585.:., 0,9393..., 0,6969. ., 
chiffres, en tout 81 périodes qui comprennent la to- 
talité dés cas possibles. 
Sans nous arréter pour le moment sur les fractions 
périodiques récurrentes à base de numération différente 
de 10, nous présenterons seulement quelques exemples 
numériques qui se rapportent aux fractions déduites 
de la congruence 
Ua cm Ni Mag (mod. NI 1), 
N étant la base du systéme de numération. Ainsi, 
pour N= 7, on trouvera les fractions 
0,666..., : 0,4426*2246**442,. . 
0,112352134156*554314532516**112... 
dans lesquelles chaque somme des deux chiffres, qui 
se correspondent dans les deux demi- périodes, est 
égale à N— 1 — 6. 
Soit encore N — 11; pneum le nombre N—1 
— 10 par à, on aura 
DA... 0,718976*392134**718... 
` 0,6281886414*4821224616**628. . . 
En faisant subir aux chiffres des deux dernieres frac- 
tions des permutations circulaires, on obtiendra de 
nouvelles périodes qui, comme ces dernières, jouiront 
de la propriété relative à la somme des chiffres cor- 
respondants dans les deux demi-périodes, somme qui, 
dans le cas actuel, sera divisible par N — 1 = 10. 
Du reste nous observerons que cette propriété, ainsi 
que celle qui consiste en ce que les périodes commen- 
cent par le premier chiffre décimal, comme dans les 
