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des Sciences de Saint- Pétersbourg. 
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am Elemente eine Fläche von der Ordnung 
+ Bunn, 
Bildet man die beiden Produkte 
(mp + ng) (mp سد‎ ng) (mp + ng) (mp =- mg) g 
und 
(mp + ng) (m'p + n'g) (m'p + n'g) (mp =~ wj) p, 
erhält man die Conjugat- Elemente der vier Connexe 
(mn), (m;n^, (m",n^) und (mn). 
Man findet 
Er HT 
eg = Z mmm n^ + 2Emmnn" + 2Emnn'n" (44) 
E JT SHE RS à D À 3 à AR À ET 
ep—Z=mmnn + 2Z=mnnn + 2nnnn (45) 
In der dritten Coincidenz [m,n; min’; m'n";m'm"] 
bilden die Strahlen der Conjugat- Elemente eine Linien- 
fläche von dem Grade X mmm n" + 2 E mmn'n” 
+ 9 3 mm ma" und die zugehörigen Punkte cine Curve 
von der 
Or dnung Y , r 7/7 n” IH 
2 nnn n" 
om ua + 23 mnnn" -+ 
Wenn schliesslich die fünf Factoren (mp + ng)....... 
(m’’p —+- ng) multiplieirt werden, erhält man dieje- 
nigen Conjugat-Elemente, die den fünf Connexen 
(m: (m n") angehören. Wenn die symbolischen 
Operationen ausgeführt werden, erhält man 
— EXqmm'wÓ + 25 mm'nn” n 
ED AMAR TEE ne (46) 
Wir erhalten somit den Satz: 
a der vierten Coincidenz [m,n; myn’; mn”; mn; 
kp E nr ? tr D FA 
min] kommen È mmmn + 2 X mmn'n n 
+ 2 3 ma ad a "wf Conjugat- Elemente vor. 
Hiermit brechen wir die Untersuchung von den all- 
gemeinen Connexen ab und wollen im Folgenden einige 
Haupteigenschaften des einfachsten Falles herleiten, 
nämlich wenn der Connex von der ersten Ordnung 
und dem ersten Range ist. Ein solches Gebilde nennen 
wir einen linearen Strahlen-Connex. 
$2. Der lineare Strahlen-Connex. 
In dem linearen Strahlen-Connexe, dessen Gleichung | 
(abyz) c, = (ofge, = 0...... 
ist, entspricht jedem Punkte æ des Raumes ein Linien- 
Complex (47) ersten Grades, d. h. ein Complex, in 
dem jeder Punkt der Mittelpunkt und jede Ebene die 
Ebene eines einzigen Strahlenbüschels bildet. Jede 
Gerade (yz) bildet Elemente mit den Punkten einer 
bestimmten Ebene (47). 
Den Punkten xz -+ A auf der Geraden (zz) ent- 
spricht die Complex-Gruppe x (abyz) e. + A (abyz) € 
— 0. Wenn die Coefficienten des x und A einzeln 
gleich Null gesetzt werden, erhält man eine Congruenz 
erster Ordnung 
(abyz) c, — 0; (abyz)c, = 0, 
deren Strahlen Elemente mit jedem Punkte der Ge- 
raden (xx) bilden. 
Jeder Punkt der Ebene (za) kann durch die 
Coordinaten xz -+ A + pz" ausgedrückt werden. 
In dem Connexe entspricht den Punkten der Ebene 
(ras) die Complexgruppe 
x (bya) c, + à (aya) cy + 9. (abge) c,» — 0. 
Setzen wir die Coefficienten der x, À und p gleich 
Null, erhalten wir eine Linienflüche, deren Strahlen 
mit jedem Punkte auf der Ebene (ec?) Elemente ja 
bilden. Somit entsprechen in dem linearen Connex ` 
jeder Geraden die Punkte einer Ebene; im Gegentheil ` 
entsprechen den Punkten einer Ebene einfach un- 
endlich viele Gerade. 
Unter den oo* Geraden des Raumes giebt es oo’, 
die in ihren zugehórigen Ebenen liegen. Die Bedin- 
gung, dass die Gerade (uz) in der Ebene a „= 0 liegt, ist 
qi fe De 0, 0, 0, 
1%, % Ug | = 0 und |U, u, u,| — 0. 
U, Vo Va V, Va 9, 
Alsdann wird zur Bedingung, dass die Gerade (uv) 
in die zugehörige Ebene des Connexes, d. h. in die _ 
Ebene (aßuv) c, fällt, 
Ci tr 56, 0,1 
(aBuv) u, Ug g| = 0; (aßuv) |u, u, x — 0(48) 
V, 0, V, v, 9, V, | 
Jede der Gleichungen (48) repräsentirt einen Com- 
plex zweiten Grades. Ihre gemeinsamen Strahlen bil- 
den eine Congruenz vierter Ordnung. e hat daher a 
den Satz: 3 
In dem linearen Connexe giebt es oo? Gerade, die 
in ihren zugehörigen Ebenen liegen. Jene Geraden 
bilden eine Congruenz der vierten Ordnung. 
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