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Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de Saint- Pétersbourg. 
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Durch jeden Punkt des Raumes gehen vier Gerade, 
die Elemente mit jedem ihrer Punkte bilden. In jeder 
Ebene liegen ebenfalls vier derartige Gerade. 
Wir wollen nun die verschiedenen, von zwei oder 
mehreren linearen Connexen erzeugten, Coincidenzen 
betrachten. In der ersten Coincidenz entspricht jedem 
Punkte eine Congruenz erster Ordnung und erster 
` Classe, d. h. eine solche, von deren Strahlen nur eine 
einzige durch einen beliebigen Punkt geht. Einer Ge- 
raden entspricht eine andere Gerade. Wenn die beiden 
erzeugenden Connexe 
(abyz)c, = 0 und (ab'yz) ين‎ = 0 
sind, entspricht der Geraden (yz) eine andere Gerade, 
deren Coordinaten (abyz) (ab yz) (cc) sind. Da in dem 
linearen Connexe jeder Geraden im Raume eine Con- 
gruenz erster Ordnung entspricht, deren Strahlen mit 
jedem Punkte der gegebenen Geraden Elemente bilden, 
und zweien Congruenzen erster Ordnung und erster 
Classe zwei Strahlen gemeinsam sind, findet man den 
Satz: 
In der ersten Coincidenz entsprechen einer Geraden 
zwei andere so, dass die beiden letzteren mit jedem 
Punkte der ersteren Elemente bilden. 
. Hieraus folgt, dass in der ersten Coincidenz jede 
— Gerade nur mit den Punkten einer Geraden Elemente 
-bildet, aber die Punkte einer beliebigen Geraden bil- 
den Elemente mit zwei anderen Geraden. 
In der zweiten Coineidenz entspricht jedem Punkte 
im Raume eine Linienfläche zweiten Grades. Jede Ge- 
rade bildet Elemente mit nur einem Punkte, Den Ge- 
raden, die in derselben Ebene liegen oder durch den- 
selben Punkt gehen, entspricht eine Flüche dritter 
Ordnung. Einem Strahlenbüschel entspricht eine Curve 
dritter Ordnung. Wenn die Gleichung des dritten 
= Connexes FÉES 
ick | (a b yz) c, — 0 
ist, entspricht der Geraden (yz) der Punkt 
(abus) (aya) (a"b"ye) (ecc) = 0, 
WO W, W, w, und w, die Ebenen-Coordinaten des 
Punktes sind. | 
In der dritten Coineidenz entsprechen jedem Punkte 
zwei Strahlen eines bestimmten Complexes vierten 
Grades. Jedem Complexkegel entspricht eine Curve 
sechster Ordnung. In der vierten Coincidenz ent- 
sprechen einander eine Strahlen-Congruenz 10:ter 
Classe und eine Fläche 10: ter Ordnung. In der fünften 
Coincidenz sind eine Curve 30: ter Ordnung und eine 
Linienfläche 40:ten Grades einander entsprechende 
Gebilde. Man findet schliesslich, das sieben gegebenen 
linearen Connexen 70 Elemente gemeinsam sind. 
Was nun die Conjugat-Elemente der verschiedenen 
Coincidenzen anbelangt, geht es aus der allgemeinen 
Theorie hervor, dass in der ersten Coincidenz die 
Conjugat-Elemente einen Complex dritten Grades 
bilden. Die Gleichung des Complexes wird, wenn man 
auf die Bedingung für das Schneiden zweier Geraden 
Rücksicht nimmt 
(aBuv) (o du) Iech, (uv) + (cc), (uo), j m 
(auo) (a Buv) (cc'uv) = 0........ 
Durch jegen Punkt des Raumes geht nur ein ein- 
ziger dem Punkte conjugirter Strahl. In der zweiten 
Coincidenz bilden die Conjugat-Strahlen eine Congruenz 
sechster Ordnung und die entsprechenden Punkte eine 
Fläche fünfter Ordnung. In der dritten Coincidenz 
bilden die Conjugat-Strahlen eine Linienflüche vom 
24:sten Grade und die entsprechenden Punkte eine 
Curve 16:ter Ordnung. Schliesslich hat man in der 
vierten Coincidenz 40 Conjugat-Elemente. 
Wir haben oben gezeigt, dass in dem linearen 
Connexe diejenigen Geraden, die in ihren zugehórigen 
Ebenen liegen, eine Congruenz vierter Ordnung bilden. 
Zwei solche Congruenzen haben 32 gemeinsame 
Strahlen. Es folet daraus der Satz: 
In der ersten Coincidenz bilden 32 Strahlen Ele- 
mente mit ihren eigenen Punkten. 
Schliesslich wollen wir auf Folgendes unsere Auf- 
merksamkeit richten. Hat man sieben lineare Connexe 
und eliminirt die Punkt-Coordination zwischen je 4 
von ihnen, erhält man 35 Complexe vierten Grades. 
Eliminirt man die Linien-Coordinaten zwischen je 5 
von denselben Connexen, erhält man 21 Flächen 
zehnten Grades. Die gemeinsamen Strahlen der 35 
Complexe bilden mit den gemeinsamen Punkten der 
21 Flächen 70 Elemente. 
Tavastehus, 20, April 1881. 
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Paru le 21 janvier 1882, 
