Eine geometrische Aufgabe. 23 



welche Formeln eine weitere Abkürzung nicht gestatten, weil, wenn 

 man sich dieselbe erlauben wollte, die Zeichen von cos E und cos E t 

 nicht richtig bestimmt bleiben würden. 



Aus den vorstehenden Formeln ergibt sich aber : 



p* ( r i 3 — r3 ) 0*1 r + p- r \ cos *) 3 



cos E z = 

 cos E t z = 



(/i 3 r 4 3 — fJL t z r 3 ) (]U a rf + P4 3 r z + 2/jt/jtj r rj cos i) * 

 p? (r x z — r 3 ) (/x r 1 + /^r cos i) z 



O 3 r^ — p x z r 3 ) O 3 r t 3 + p x z r z + 2^ r r t cos i) 



also , wie man hieraus ferner leicht findet : 



r t z \ß z (jxr t + p. x r cos i) z — \if (ß ± r + pr ± cos i) z } 



sin E z = 

 sin E ± z = 



(p z r x z — p^ 2 r 3 ) (/x 3 r 4 3 + p.^ r z + 2pp l rr 1 cos i) ' 

 r 3 |pt 2 (/7. ^ + // t r cos z) 3 — pL x 2 (jUj r + ^-^1 cos i) 3 } 



(/jt 3 r^ — ptj 3 r 3 ) (/x 3 rj 3 -f Mi a r a + 2pp ± rr t cos i) 

 Es ist daher auch jetzt , wie es sein muss : 

 sin E : sin Ei = t\ : r ; 

 dagegen ist jetzt: 



cos E z : cos Ei z = Hi z (fa r^fftVi cos i) z : /jl z (jj. r x ^^r cos i) 3 , 

 welches für i — in : 



cos E z : cos Ei z =jüii z : /jl z 

 übergeht; auch ist nach dem Obigen: 



cos E : cos Ei = fi x {ßi r + p r \ cos i) : ft (ptVi + fa r cos ?'), 

 folglich für i = : 

 cos E : cos Ei = fa (ßi r + p. r 4 ) : p. (pn + P\ **) 



= + //, ((tri + j"i r) : fi (pn + /^ r), 

 also : 



cos E: cos Ei = + /i 4 : ^ , 

 ganz eben so wie wir schon in II. in diesem Falle gefunden haben. 



Durch Division erhält man aus den vorhergehenden Formeln 

 sogleich : 



r i 3 W iß r \ "F Pi r cos *) 3 — A4 2 0*1 r + ** r i cos 0) 



to# 2£ 3 = 

 tang E± 3 = 



Mi 3 0"i 2 — ** 3 ) (p-i ** + jti r j cos i) 2 

 r a {p, 8 (pt r i + /jt 1 r cos i) 3 — /jtj 3 (pti r + [i r i cos i) z \ 



\x z (r 1 3 — r 3 ) {pr i + fi ± r cos i) z 

 Weil 



cos *S = 



und , wie man leicht findet: 



