14 Grüner t. 



woraus die sich auch ganz von selbst verstehende Proportion 



sin E : sin E^ = i\ : r 

 folgt. 



Endlich erhält man aus dem Vorhergehenden auch unmittelbar 

 die beiden folgenden sehr einfachen Formeln: 



tmg E * _ fr;-'/> f '', fang E,* = fe^- 



Bezeichnen wir den an dem Punkte £ liegenden Winkel des 

 Dreiecks PS P t durch S, so ist bekanntlich 



S7 2 + jtF ± * — PPj 3 r 3 + r t 3 — PTi 3 



cos S = — == ; 



2.SPrSP i 2rr 4 



es ist aber, wie man leicht findet: 

 also: 



cos S = 



fir ± fi t r ± 



ttT±± p±T 

 woraus sich leicht 



sm S z = ■ , 



O ^ ± \i x r) 3 



also 



O r ± p ± r ± y 

 ergibt. 



In der Theorie der Stillstände der Planeten setzt man das Ver- 

 hältniss /i : fa dem Verhältnisse der Geschwindigkeiten zweier in 

 concentrischen Kreisen in einer Ebene sich gleichförmig bewegen- 

 den Planeten, von denen der eine gewöhnlich die Erde ist, gleich. 

 Sind nun T und T x die Umlaufszeiten dieser Planeten, so ist 

 2 r tz 2 r ± tz r r x 



T ' T ± ~~ ~T ' 7\ 

 das Verhältniss der Geschwindigkeiten, also 



folglich 



pt-ip^^r* 2\ 3 : rf T*. 

 Nach dem dritten Kepler'schen Gesetze ist aber 

 r fl s:'r>= T t * : T* 9 



