Eine geometrische Aufgabe. j 3 



Bezeichnen wir nun ferner die an den beiden Punkten P und P x 



liegenden Winkel des Dreieckes P S P x durch E und E x , so ist 



bekanntlich 



P7V + SP 2 — ST\* TP? + r 3 — V 



cos E = — — = , 



2.PP\.SP 2r.PP t 



~PP* + "SP* — £P 3 ~PP* + rf — r 3 



cos Ei 



Z.PP^SPi 2r i .PP i 



aber nach dem Obigen : 



2 a. r fr, 3 — r 3 ) 



PPi 3 + r 3 — n 3 = + _^_AJ £ § 



fi r ± ± /^ r 



2,ur. 1 (r. 2 — r 2 ) 



PP^-f n 2 — r 2 = ^ ' -; 



Mi*i ± 0i *• 

 also, wie man sogleich übersieht: 



M „ _ 01 Oi 2 - *" 2 ) 1 / r t ± fti r 



cos E = + V — - — — -, 



£ = Q t a — r 2 ) V 0^+^ r 



»"i ± 0i *• 0*i 2 — ** 2 ) (0 »*i + 0i >o 

 Diese Formeln noch weiter zu reduciren, ist nicht zulässig, 

 weil man sich dabei nicht würde versichert halten dürfen, dass die 

 Vorzeichen der beiden Cosinus richtig bestimmt bleiben; allerdings 

 aber übersieht man auf der Stelle, dass 



^ 9 0i 2 Oi 2 — r2 ) 



cos E z = 



cos 



ff 



V- 



IH< 



5 r 1 



2 



<>,» 





r 2 ) 



a 



r x z — 



N* 



; r z 



cos Ei 3 



ist. Bemerkenswerth ist auch die aus den vorhergehenden Formeln 

 sich unmittelbar ergebende Proportion : 



cos E : cos Ei = + fa : fi. 

 Sehr leicht erhält man ferner : 



(0 2 — 01 3 )»*! 2 



sin E* = 1 — cos E % = 



/i 2 r^t 2 



sin E<* = 1 — cos E<* = \ . M J 



also, weil die Sinus der 180° nicht übersteigenden Winkel E und Ei 

 immer positiv sind: 



sin E 



*V3 



/x 2 r t z — ;j. ± 2 r 2 



sin Ei 



,-r\Q=^ 



9 9. •> •> 



