3) 



ß Grüne r t. 



Die Gleichungen der in den Punkten (uvui) und (u t v t w^) an 

 die beiden Curven gelegten Berührenden sind nach den Lehren der 

 analytischen Geometrie : 



dv dw 



y — v = — (x — u), % — w — — — (x — u) und 

 ° du K du 



dv x dw ± 



y — Vi =■■ — - (x — Ui), % — w x = — - {x — Ui). 



0,11a (t U a 



Sollen diese Berührenden, wie die Aufgabe verlangt, sich 

 schneiden, so rauss bekanntlich die Bedingungsgleichung 



/dv dv ± \ (/■ dw\ s dw^) 



\du du x ) (V d u) v du*)) 



/dw dw x \ [r dv\ ( d v i\) 



- — I Uv — u — — I Vi — ^ — H 



\d u du*) (V du) V du ± )\ 



= 



stattfinden, welche man leicht auf die folgende Form bringt: 



. (dv dw. dw d Va\ (dw dw.\\ 



(u — u { ) (— •- r"T~ )+( v ~- v i) h T~)l 



.. \du du* du du.) \d u du.) 



( dv dv^( 



Bezeichnen wir nun die Coordinaten des Durchschnittspunktes 

 der beiden Berührenden durch x, y, z, so müssen, natürlich unter 

 der Voraussetzung, dass die vorstehende Bedingungsgleichung erfüllt 

 ist, diese drei Coordinaten aus den vier Gleichungen 3) bestimmt 

 werden. Zur Bestimmung von x erhält man aus diesen Gleichungen 

 durch Subtraction : 



(dv dv ± \ ( dv dv ± \ 



Vi — v = I — )x— [u Ui — , 



^du du ± ) V du du ± ) 



(dw dw x \ ( dw dw^\ 

 — )x — [u - Ui -— ; 

 du du t ) V du du ± ) 



also: 



S) 



X 



X — 



f dv dv t \ 



v. — v 4- I u u. — I 



1 ' V du 1 duj 



d v dv v 



du du, 



(dw dw\\ 

 U U A I 

 du 1 duj 



dw dwi 



du dui 



