285 
des Sciences de Saint-Pétersbourg. 
pe = 
ap dam P (MM Ye. 9 ) 
A er ML 0p  …. m(m—1) dM—2 + 09. 
dam ape) demi dyE—1) | 1.2 dam—2 aa 
ee m(m—1)...(m—1i+1) HR Le) Hot 
Re On dam—$ ÿyl—$) 
d 0p (Je) 
dæ dyi—m+#1) pa dÿE—m) : (A) 
Le nombre des termes de cette formule n’est pas 
toujours égal à » + 1; car dors k— de la va- 
riable y*—Ÿ, dans la dérivée 
: enr n'étant jamais 
négatif et plus grand que n, il faut supposer égaux 
au zéro tous les termes de la formule (A) où les condi- 
tions 0 <'k— Zn ne sont pas remplies pour à = 0, 
A EVE à 
La démonstration de la formule (A) est fort simple. 
D'abord, il est facile de la verifier pour »m— 1. Et 
ensuite, en la supposant vraie pour une valeur déter- 
minée quelconque du nombre », on s’assure aisement 
qu’elle existe alors pour cette valeur de » augmentée 
d’une unité. 
3. En différentiant successivement l'équation (4) 
par rapport à ie et à ÿ°"— à l’aide de la formule (A) 
on aura 
A 
#2) ana —Ÿ (5) 
et 
of 
RE ag een 
Il suit de l'équation (5) que la valeur de y ne peut 
pas contenir les dérivées de y de l’ordre supérieur 
à n; c’est pourquoi on à supposé — 0, en dé- 
duisant l’équation (6). 
Si l’on substitue dans l'équation (6) la valeur (5) 
de ., on obtient 
p 
dy! 2n—1) 
du 
FR NET 
ou + y 
dlogu” û nr 
dx LE dyen—1) 0 (9) 
l'équation qui définit le facteur y de notre trans- 
formation isopérimétrique. 
oz comparant l'équation À avec l'équation connue 
d DER + ne, 
+ ES 
Tome XXXI. 
(8). 
qui, d’après la théorie de Jacobi, définit le dernier 
facteur M du système d'équations 
L'NRTA) 
yen—1) 
dy A1) 
= @ 
équivalent à l’équation donnée (3), on ne trouve que 
cette différence entre p" et M: la valeur de M peut 
généralement être une fonction de x, y, y, ..…, y?» 
tandis que, d’après la remarque déjà faite plus haut, 
la valeur de p ne peut contenir les dérivées de y que 
de l’ordre non supérieur à ». Donc, 
si on peut obtenir la valeur du dernier fac- 
teur M du système d’équation (9) ne contenant 
les dérivées de y de l’ordre supérieur à "#, 
alors, en posant 
ET Qu 
y 
4 ma 
Éd! (40) 
on aura le facteur p de la transformation iso- 
périmétrique. 
La valeur demandée du dernier facteur ZX s’ob- 
tiendra D de l’équation (8), si la dérivée par- 
tielle —=— ; —. est en même temps la dérivée complète, 
par rapport à x, d’une certaine expression en #, y, 
y, … de l’ordre différentiel non supérieur à n; c’est- 
à-dire, si l'équation de condition d'Euler 
ù 2n—1)5, d 2n—1) 9 PR AR 7 
y y æ Of [A (41) 
am of 
Par a ee 1 dx oy2r—1) dy) = 0 | 
est satisfaite identiquement pour » — où << n+ 1. 
Donc la condition nécessaire (1 1) peut être considerée 
comme équivalente à (7). 
4. Passons, maintenant, à la recherche de la valeur 
de Y, en supposant la condition (11) satisfaite et la 
Valeur de x, tirée de l’équation (); substituée Dane 
les équations (4) et (5). 
Il faut remarquer d’abord qu’il suffit d'obtenir la. 
valeur particulière (W) de V, satisfaisant à l'équation . 
(4), pour avoir tout de suite sa valeur générale. . ee 
En effet cette valeur joe sera 
V= (7) +7 
c®. 
si II désigne une fonction Fe de x, y, y, .. oi à . 
pr. Rp on sait que 
a.Il 
Fe dæ 
