| qui est appliquée à 
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Bulletin de l’Académie Impériale 
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est la valeur la plus générale satisfaisant à l’équation 
(1), c’est-à-dire à l'équation (4) sans second membre. 
On peut se figurer la valeur particulière (W) de l’in- 
tégrale de l’équation (4) comme une somme 
(P)=V,+V,_ +... +V+, 
composée des expressions différentielles V,, V,_,, .…, 
V,, V, des ordres respectifs n, n—1, 
(13) 
és 0 en dé- 
rivées de y, V, désignant cnrs (e fonction 
de x et y. On remarquera facilement, que le terme 
existe nécessairement dans cette somme, tandis que 
les autres y peuvent manquer en partie ou totalement. 
5. Pour obtenir d’abord le terme V, de la somme 
(13), on déduit de l'équation (5) ! 
V=(— 1)" | og" | O9 + U (14 
Il est bien entendu que pendant l'intégration par- 
tielle par rapport à y” on considère les autres va- 
riables æ, y, y, .…, y" ” comme des constantes; donc 
on à ; 3 
| U— a+ Le (1 5) 
où œ et a sont des fonctions inconnues de x, y, Ÿ, 
LA °2 y" 
HR, pour abréger l'écriture, par W l’inté- 
grale double (—1) loge uw dy" et convenons de repré- 
 senter par le symbole Z°° l'opération 
# do  æ à ; 
Bo Tama + CD 
la fonction. V dans le premier 
membre de l’équation isopérimétrique (1). 
À l’aide de ce symbole l’équation : s’écrira 
INT] pp — 
et, en ÿ substituant 
ire "fon" [ao + 0 = W+ 0, 
on aura 
ee 
Ôy : 
4 
se? 
PAULINE a f), 
où où tire ; ; 
re I"[U]= F, (16) 
‘en posant 
 F=gg— f) PES (7) 
nd est facile de faire voir que le premier membre 
. _ de LÉ np (16) ne contient pas les dérivées de y de 
l’ordre supérieur à 2n—2. En effet, U étant géné- 
ralement de la forme (15), on a 
n TT Es Ts d {da 08 (in) 
I(U=; y) (+ )+. 
RMS. Le 0) 8 
+(— si is an") #1) 
Mais on peut écrire 
an an—1 {06 dy 8 m1 CENT 
(B)— SMILE e#1) (n) |. 
dr ane 07 Foy ognnŸ } 
n dan 
LB) 
donc l'égalité PRES deviendra 
n da ñ d [0x n 
TAU=$ + y de LC + E y +. 
CENT A LUE dœ ; 
LR pe 1) dan— 1 Le Du 
nd! US ! dB (—1) 
pre D PE +; dy? A dyt—1) 9 h 
d’où l’on voit que y°”7 ? est la plus haute dérivée de 
y qui peut figurer en 1°” [U] et il en sera de même, 
si l’on y suppose 8 — 0. 
Nous admettrons cette hypothèse 8— 0, pour sim- 
plifier la recherche de la valeur particulière de V, en 
vertu de quoi il faudra écrire 2" "[U] au lieu de 
I"[V], si U— a sera une expression différentielle de 
l'ordre #n—1, où bien— changer T"{U] en 1°" U], 
si U— « sera une expression différentielle de l’ordre 
N — M. 
Mais il faut savoir d’abord l’ordre différentiel de 
l'expression F, du second membre de l’équation (16), 
pour pouvoir faire une supposition déterminée sur 
l’ordre différentiel de la fonction inconnue U. 
6. On trouve sans peine que dans l'expression (17) 
de F les termes en #°” et en y°"" se détruissent 
mutuellement. En effet, à l’aide de la formule (4) on a 
on... 2 
agen) FE Op opt) 
et 
a, Li of 
agen TR a LA Due à TT 
AE [ue Sn ha æ |, 
deux expressions se réduisant identiquement à zéro 
en vertu des équations (5) et (7). 
D'autre part, quelque hypothèse que l'on. fasse 
sur l’ordre différentiel »—m de U, il est clair que 
197 [U] sera toujours de l’ordre pair 2(n—m) et 
linéaire par rapport à la plus haute dérivée y”. 
