289 
des Sciences de Saint-Pétersbourg. 
290 
Donc, notre problème de transformation iso- 
périmétrique serait impossible, si l'expression 
(17) de Fn’avait pas la forme suivante 
FE pl fon En D V9 0 PTT M, (18) 
où » peut avoir une des valeurs 1, 2, ..., n. 
En supposant la condition nécessaire (18) dsbistaits, 
il faut poser 
TE Pda des 
en Pa De A n une fonction inconnue de x, 
Yes YU 
De cette manière on aura un nouveau problème, 
exprimé par l’équation 
LORS RER fe) «e : (9) 
analogue au problème primitif, qui s'exprime par 
l'équation (4). Mais il y à cette différence entre eux, 
que l’ordre de l’équation (19) est moindre de 2» unités 
et que le facteur y, de son second membre est connu 
à priori. Cette dernière circonstance donne lieu à deux 
nouvelles conditions nécessaires: 
PVy— 
(Cr à AE (n—Mm) ÿ CT — Fm 
ni (20) 
n 
fm Li 
dy2(r—m)—1 
et 
dp. 
(n — m) Le. Er 
analogues à (5) et (7) et que l’on obtient en différen- 
tiant l'équation (19) par rapport à y "età? Nu 
La première des équations (20) montre que p,, doit 
être de l’ordre différentiel n—»", tout au plus, et, si 
cette condition est remplie, la valeur de p.,, doit en- 
core satisfaire à la seconde des équations (20). 
© 7. Dans ce qui précède nous avons obtenu la forme 
générale des conditions nécessaires pour la solution du 
problème consideré et il est aisé à voir qu’elles sont 
en même temps suffisantes. 
En supposant satisfaite la condition (11) on tire 
de l'équation (7) la valeur du facteur y et ensuite on 
aura 
Vi =(—2)"[ 090 Fa du 
le terme de la some 9 de l'ordre différentiel supé- 
rieur. 
Si l'on. suppose Fe dites a 8) et (20) Lait 
on a 
LA 
le terme de l’ordre n—-m qui suit V, dans la somme 
(13). s 
À l’aide de la valeur de V,_,, on transformera 
l'équation (19) de la même manière, comme au #° 5 
on à transformé l'équation (4’) en (16), à l’aide de la 
valeur W=Y, 
Si l’on trouve, pour l’équation transformée, les condi- 
tions analogues à (18) et à (20) satisfaites, on aura 
un terme nouveau de la somme (13) de l’ordre infé- 
rieur à » —m"” et qui suit le terme V,_ 
En continuant ainsi et en supposant que les condi- 
tions analogues à (18) et à (20) seront toujours sa- 
tisfaites, ce qui arrivera nécessairement si le problème 
est possible, on obtiendra sa solution générale 
VV Tr AE 
n — n 
"M" dx ? 
où, comme il est dit plus haut, II est une fonction 
arbitraire de #, y, y, .…, y" et le nombre des termes 
LL) LA LA “ 
de la somme D 14 peut varier de zéro à n. 
sm Nm 
mn 
Le cas le plus simple se présente alors, quand on 
trouve, d’après la formule (17), que l’expression F 
est une fonction f, de x et y, qui peut en particulier 
se réduire à zéro. 
‘Il est évident qu’alors la somme D se réduira 
m 
nm 
à un seul terme V, — [ dy, qui s’évanouit, si f,—0. 
Cette circonstance se rencontre toujours dans le 
cas particulier n = 1. 
Par conséquent, si l’on connait une rc M du 
dernier facteur du es 
0m. 00 
du", ÿ_ f(&9,9)? 
l'équation du second ordre 
y—f(@, y, ÿ)=0 
multipliée par M, se ramène toujours à la forme iso- 
érimétrique 
CRM ENT 
ON ER 
Je m’empresse de citer un travail récent de Mr. le 
professeur N. Sonine”) où cette même remarque à 
été faite sur ce cas particulier de la transforma- : 
CROËCTEE 
2) O6 onpexbzeni H IXE CBOÏCTBB 
HIOCEUXB KPHBHIXE ($ 8) H. 4. Conuxa. Yuus. Has. 1886 r. X 1. 3 Pre 
Bapmasa. : 1e rs 
