291 Bulletin de l’Académie Impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg. 292 
tion isopérimétrique; mais selon ma connaissance, | l’équation (a) devient 
le problème général de cette transformation n’a pas FUIT (b) 
encore été discuté. 
8. Pour compléter l’explication de la théorie pré- 
cédente nous allons l’appliquer à un exemple parti- 
culier. Soit 
mr 2% + 2% 4%) F 
4 ( y ÿ y)? 
) y3 1 y"? y? y” 
T3 ares mur à 
4 
jy EE 20 
l’équation différentielle du 4-me ordre que l’on demande 
de ramener, s’il est possible, à la forme isopéri- 
métrique. 
Il faut poser l’équation 
: I°[V]= 84" —p#), 
où V et x désignent des fonctions inconnues de #, Y, 
Sd. 6/5: 
f=(2# +00 —0)g ee RUE Te 
M9. ÿ 
12 2 op 
+py +5 er À 
On a l’équation 
d.logu? … of 
dx . apr 
_ de laquelle on obtiendra w. En effet, 
of ie 2(Y ve y"! D); 
y e ; 
oy7 y y" 
donc 
dy" dy à 
dogs — + 
5h y" y y 
et, par conséquent, 
44 
Fe rex Fe ? 
C désignant une constante arbitraire. 
Ensuite on peut poser 
V — 
_V,, V, V, désignant des expressions différentielles, 
en dérivées de y, des ordres respectifs 2, 1, O et Il 
une fonttion arbitraire de x, y, Y. 
On a 
L 2 
V, = = [oy" [wo nds 
et si l’on fait 
| V=p,+U 
se Ep" —f)—1%[7;] 
Il est aisé d’exprimer en y et en ses dérivées les 
quantités p(y!"—f) et 1°[V] et leur différence sera 
F=C(—yy —;" +9). 
On voit que F, ne contenant pas les dérivées y!} et 
y” et étant linéaire par rapport à y”, remplit les condi- 
tions demandées par la théorie. 
On peut donc supposer que © désigne une fonction 
inconnue de x, y, ÿ et changer Z®[U] en Z®[U]. 
Par suite l’équation (b) deviendra 
IOTU]= m @"—f), (e) 
où pb, ——0Cy et f,—= —; 2 + 1. Ces deux quantités 
satisfont également aux conditions exigées par la théo- 
rie, savoir y, ne contient pas les dérivées de y supé- 
rieurs à y, a, et f, satisfont à l’équation 
ce ARE ee = = 0. 
Donc on a 
= — | 0y [us 0y =1 Cyy? 
et on peut poser 
U—=V,;+U. 
Par conséquent au lieu de as (c) nous aurons 
ITU] — (d) 
où 
F,= [er À Aie ie 
Par la dernière formule on trouve facilement 
F= Cy, 
donc on peut supposer que U, ne contient pas les dé- 
rivées y, de sorte que l'équation  (d) devient 
IO[U]= Cy où = Cy. 
De là, par l'intégration, on 
U,=V,=10Cy" 
Donc, en rt les Far précédents, on 
conclut qu’en posant 
tri V7 72 d.U(x,Y, 
PRO RP ER, 
l'équation 
| OV. doV.  d 0V 
3 = 0 
dy dx dÿ Ÿ dx? dy” 2 
sera équivalente à l'équation différentielle proposes, 
dès le 18 octobre 1886, 
