GROUPS AND MANY-VALUED FUNCTIONS. 353 



was confessed that all had contributed results both new 

 and important ; and the question^ though proposed for 

 the first time for the year i860, was, contrary to the very 

 frequent custom of the Academy, withdrawn from compe- 

 tition. [Vide Comptes Rendus, Mars, 1861). 



69. One question of the Academy as above quoted is : 

 " Comment pent on former les fonctions pour lesquelles il 

 existe un nombre donne de valeurs V 



The mode of doing this, which, so far as I can gather, 

 has hitherto been considered satisfactory, is thus given in 

 one of the very last contributions to this subject. [Vide 

 p. 10 of Theses presentees a la faculte des Sciences a Paris 

 etc., Mallet -Bachelier, i860; or vide for a reprint of the 

 same Memoir Le Journal de VEcole Foly technique, 1861, 

 vol. xxii., p. 120). The author is giving an account in his 

 preliminary chapter of the established method of con- 

 structing, on a group of the ¥^ order, with N letters, a 



function of —^ — values. 

 a: 



"Tout systeme conjugue {= group) peut etre considere 

 comme le systeme des substitutions inalterantes d'une 

 certaine fonction qu'il est facile de former. 



On se donne une expression dissymetrique par rapport 

 aux N lettres abed' •; celle-9i, par exemple, aa + l3b + ryc 

 ' • + ; puis on forme une fonction symetrique des valeurs 

 que prend cette expression en y eflFectuant toutes les sub- 

 stitutions du systeme conjugue; on prendra par exemple 

 le produit [aa + ^b + jc- '){■'){' •). Cette fonction sera 

 invariable par toutes les substitutions du systeme, qui ne 

 font que permuter les facteurs les uns dans les autres ; 

 car si P, Q, R. . sont les substitutions du systeme con- 

 jugue et si I'on designe par F^. ce que devient la fonction 

 lorsqu'on y a effectue la substitution x, le produit sera 

 FiFpFq- • ; apres la substitution P il sera devenu 'PpFpz 

 ¥qp • • . Mais les substitutions P, P^, QP • • sont evidem- 



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