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 dente il existe un certain point que nous appelerom pôle ^ 

 tel que si de ce point on abaisse des perpendiculaires sur 

 une tangente et sur une normale à la courbe, la perpendi- 

 culaire sur la tangente sera égale à la somme des rayons 

 de courbure impairs du point de contact, et la perpendi- 

 culaire sur la normale sera égale à la somme des rayons 

 de courbure pairs, en ayant soin, dans les deux cas, de 

 prendre ces rayons alternativement positifs et négatifs. 



Lorsque la courbe est symétrique par rapport à une 

 droite, on reconnaît sans peine que le pôle est situé dans 

 cette droite ; si la courbe était symétrique par rapport à un 

 point comme l'ellipse et l'hyperbole , le pôle se confondrait 

 alors avec ce point. 



Dans un grand nombre de courbes, ce point est situé à 

 l'infini; c'est ce qui arrive dans la parabole, la cycloïde, etc. 



Cette propriété remarquable donne le moyen de sommer 

 un grand nombre de séries qui, par leur complication, 

 échapperaient aux méthodes connues ; car si on détermine 

 dans June certaine courbe les rayons successifs en fonction 

 des dérivées de l'équation absolue , au moyen des formules 

 (5), les rayons pairs et impairs formeront deux séries dont 

 on connaîtra la somme en termes finis, en calculant par 

 les méthodes ordinaires la longueur des deux perpendicu- 

 laires , et en remplaçant , dans ces deux valeurs , les coor- 

 données rectangulaires par le rayon de courbure. 



On peut encore trouver, par les mêmes principes, une 

 autre expression déjà connue (*) des projections MB etAB 

 de la courbe AM ( fig. 4 i pL i) , sur la tangente et la nor- 

 male à l'une de ses extrémités ; supposons AX et AY tan- 

 gente et normale au point A^ et supposons AM' la déve- 

 loppante de AM , AM" celle de AM.\ AM'" celle de AWl" 



(*) Voyez Annales de mathématiques de Gergonne, tome g. 



