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 d'où il résulte que 



MB= ,r— /'^ /'"— /'""^etc. 

 MG == ,r' — /" ^ y"" — ,r"""' -h etc. 



c'est-à-dire que la projection d'une courbe sur la tangente 

 à l'une de ses extrémités est égale à la somme des dévelop- 

 pantes impaires , et que la projection sur la normale est 

 égale à la somme des développantes paires , en les prenant 

 alternativement positives et négatives. 



Les formules démontrées plus haut sont fort commodes 

 pour démontrer le théorème sur les développées que Ber- 

 noulli fit connaître le premier et auquel il parvint par 

 induction ; soit en effet AB ( fig. 5 , pi. i ) , la courbe 

 proposée; AC ^ DC^ DE ^ etc., les développantes suc- 

 cessives, et r un rayon de courbure G'F' de l'une des 

 développantes GH; on aura, en nommant ç, ç'» s"? etc. 

 les rayons de courbure successifs d'un point quelconque 

 de GH, et v l'angle compris entre G'F' et ce rayon, 



va \d 



r = ç «4- ^' V -+- ç " — - ^ ç '" — -+• etc. 



2.1 D . 



Or, si l'on suppose la courbe donnée AB, telle que 

 CB étant une tangente au point jB, DA parallèle à CB 

 soit normale au point yi , il est clair que toutes les déve- 

 loppantes se trouveront dans le même cas , c'est-à-dire qu'elles 

 seront toutes tangentes à l'une des deux droites à une extré- 

 mité , et normale à l'autre droite , à l'autre extrémité ; si 

 donc on prend le point H pour origine des angles, il 

 est évident que ç sera HJF, que ç' rayon de courbure de 

 GF au point F est nul , puisque la développée EF de FG 

 atteint la courbe en F ; on aura de même : 



ç" = FD;ç"'==o;ç"''= DA 



