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 suite , et l'on prouve comme ci-dessus que la développée 

 finale G'H est un arc de cycloïde ; développant de même 

 A'B on tombera encore sur un arc de cycloïde GG' ^ et 

 l'on trouve que les équations de ces deux parties sont 

 les mêmes , c'est-à-dire qu'elles fonnent une cycloïde 

 entière. 



Il suit de là que la condition, que la courbe AB soit 

 tangente d'un côté à la droite BG et normale de l'autre 

 à la droite AF^ condition que Bernoulli et les autres 

 géomètres qui se sont occupés de cette propriété, regar- 

 daient comme indispensable , n'est nullement nécessaire ; 

 car il est visible que si l'angle B n'est pas nul, B'C se 

 composera d'un arc de développante de A'B et d'un arc 

 de cercle qui fera suite à cette développante ; de même 

 si l'angle A n'est pas droit, l'angle B'AD ne sera pas 

 nul, et la développante DC contiendra aussi vers le 

 point D un arc de cercle, de sorte que la troisième déve- 

 loppante DC'C composée d'arcs de courbes juxtaposés 

 satisfera pleinement aux conditions auxquelles on avait 

 assujetti la courbe AB. 



Il suit encore de là que la courbe AB peut être remplacée 

 par des arcs de courbe brisés ou même par un polygone. 



Une des applications les plus ciudeuses que l'on puisse 

 faire de la théorie des développées successives , est la re- 

 cherche, par son moyen, des racines réelles des équations 

 numériques de tous les degrés; cette application est d'autant 

 plus importante qu'indépendamment de sa curiosité soiis 

 le rapport théorique , la simplicité des constructions aux- 

 quelles on est conduit permet d'en espérer un grand secours 

 pour la résolution par approximation des équations, puisque 

 ces constructions sont de nature à pouvoir servir au tracé 

 d'une figure qui donne sans tâtonnement la valeur appro- 



