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 M. Legendre , dans son traité des fonctions elliptiqpies (i), 

 avait déjà indiqué une méthode pour faire dépendre toute 

 intégrale de la recherche d'un arc de courbe que l'on pût 

 construire sans faire usage de l'intégrale ; son procédé , 

 qui n'a rien de commun avec le précédent, peut cepen- 

 dant se déduire de ce que nous avons vu plus haut du pôle 

 des courbes ; car si F ( fig. 3, pi. i ) représente le pôle 

 de AC , et qu'on représente par r, r', r", etc. , les rayons 

 successifs d'un point de cette courbe, on aura, en repré- 

 sentant FG par p , 



p :^ r — r" -t- t"" — etc. 

 Mais si l'on remarque que 



/r dv = , r yfr' àv=sSr" dv =: r' 



on trouvera 



/p dv = , 



r'-t-r 







dp 

 dv" 



= r' — 



. r'" -h r 



mil __ 



d'où 



il suit 



que 















ypdv 



-t- 



= ^r-i-c, 



Or , r est le rayon de courbure de la développante de 

 'AC ^ ,r sera donc égal à l'arc AC augmenté d'une cons- 

 tante ; on aura donc en représentant AC par s , 



= / p dv . 



dp 



telle est la formule démontrée par M. Legendre ; on 

 voit qu'elle pourrait servir à intégrer toute fonction dif- 



(i) Voyez traité des fonctions elliptiques de Legendre , tora. 2 ,-pag- 588. 



