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a été pendant longtemps sans une démonstration qui fût 
à l'abri de tout reproche. Voici ce que rapporte, à ce sujet, 
M. Chasles, dans les Comptes rendus de l’année 1872. 
« La vérité de ce théorème, disait Euler, est reconnue 
de tous les géomètres, quoiqu’on doive avouer qu'on n’en 
trouve nulle part une démonstration assez rigoureuse. » 
(Voir Mémoires de l'Académie de Berlin, de 1748; dé- 
monstration sur le nombre de points où deux lignes d'or- 
dres quelconques peuvent se couper, pp. 255-248). Cramer 
dit bientôt après : « La règle qui détermine ce nombre est 
très-importante dans la théorie des courbes; plusieurs 
grands géomètres l’ont supposée, mais personne, que je 
sache, n'en a donné la démonstration. » (Introduction 
à l'analyse des lignes courbes algébriques (Genève 1750, 
p. xni). 
THÉORÈME III. — Si, dans les équations (A) du théo- 
rème 1°, on supprime respectivement tous les termes dont 
les degrés sont inférieurs à n,, na, le nombre des solutions 
nulles communes à ces équations est n,. na 
Démonstration. — Représentons par 
Bi di (Xi, pi 
Ya (£1, Ta)”? 
ensemble des termes des degrés n,, nz. On voit de suite 
que le nombre cherché est égal au nombre des coïnci- 
dences, confondues avec l’origine, des deux séries de 
points déjà considérées, Il s ‘agit donc, d’après le théorème 
complémentaire du principe de correspondance analytique, 
de trouver parmi les m; . ma solutions du rapport À le nom- 
bre de celles qui, pour p, nul, restent finies, et parmi les 
m,. mg solutions du rapport & le nombre de celles qui, 
pour p, nul deviennent nulles. 
