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entre un de ses points, choisi comme on voudra, et deux 
points fixes, donnent un produit constant. La courbe, 
ainsi définie, est connue sous le nom de lemniscate. 
Soit m un point de la courbe; F, F’ ses foyers. Voici 
d'abord le résultat très-simple auquel on parvient. 
Joignons le point m au point I milieu de FF”. Par le 
point m menons la droite mn, de manière à ce que l'angle 
nmF' soit égal à l'angle ImF. La droite mn ainsi déter- 
minée est la normale pour le point m. 
En F, I, F’ élevons des perpendiculaires sur les droites 
Fm, Im, F'm et prolongeons-les jusqu’à leurs rencontres 
en a, c, b, avec la normale mn. En désignant par p le 
rayon de courbure qui correspond au point m, il vient 
très-simplement : 
= — + — . 
ma mb me 
T4. Démonstration. Prolongeons Fm d'une longueur 
mC = mF. Par hypothèse, le produit des rayons vecteurs 
Fm, Fw est constant : il s'ensuit que les vitesses actuelles 
du point m sur mF et mF’, peuvent être représentées res- 
pectivement par les portions de droite mC, mF’ et, consé- 
quemment, que la tangente en m est la droite mt, le point ¢ 
étant à l'intersection des droites Ct, F't, toutes deux per- 
pendiculaires, lune en C à Cm, l’autre en F’ à F'm : soit v 
la vitesse totale du point décrivant; cette vitesse étant di- 
rigée suivant la tangente, on a 
Dis mi 
On voit aisément que le normale mn, élevée en m per- 
Pendiculairement sur mt, et la droite mI allant du point m 
