22 



Omt'iing man forslod al drage Nytte heraf. De fleste Forfattere vise sig tilbøjelige til at 

 begrænse dette Omfang meget stærkt; de kalde Kiiklids Løsninger geometriske og synes 

 dermed ogsaa at betegne, at han kun har givet dem Anvendelse som et, i mange Tilfælde 

 nyttigt, Hjælpemiddel inden for selve Geometrien, medens de føre den numeriske Løsning 

 ned i Tiden til de første Forfattere, hvor de have fundet udtrykkelige Exempter paa saa- 

 danneM- Den Opfattelse, som jeg her skal fastholde, gaar derimod ud paa, at den geo- 

 metriske Fremstilling for Grækerne var Fremstillingen af almindelige Størrelser, deriblandt 

 specielt de Størrelser, som kunne fremstilles ved Tal eller Talforhold, eller de rationale 

 Størrelser, at derfor den geometriske Løsning af Ligninger af anden Grad for dem var den 

 almindelige Løsning, der specielt maatte indbefatte den numeriske, og at Grunden til, at 

 man tillagde Fladeanlægene en saa stor Betydning, netop var den, at de ydede de gamle 

 Grækere, hvad Løsningen af Ligninger af anden Grad yder os. 1 disse Anskuelser stemmer 

 jeg, saa vidt jeg ser, fuldkommen overens med Tannery, af hvis Skrift jeg ogsaa laaner 

 liere af mine Argumenter for den høje Alder af Kjendskabet til den numeriske Løsning af 

 de kvadratiske Ligninger. 



Som en Grund til at antage, at det ikke udelukkende er de geometriske Anven- 

 delser, man har havt for Øje, maa jeg først berøre den Omstændighed, at den af Euklid 

 meddelte Løsning, som jeg har vist, falder fuldkommen sammen med vor algebraiske, 

 men staar tilbage i geometrisk Simpelhed for de Fremgangsmaader, som nu sædvanlig 

 bruges til geometrisk Konstruktion af Rødderne i en Ligning af anden Grad. Var det 

 blot en saadan, man ønskede, vilde man paa Euklids Tid, da Konstruktionslæren var saa 

 højt udviklet, sikkert have vidst at bringe Løsninger af Opgaver, hvormed man havde be- 

 skjæftiget sig saa længe, til den størst mulige geometriske Simpelhed. 



De bedste Argumenter maa dog søges i opbevarede Anvendelser af Løsningerne. 

 Den fuldstændigst gjennemførte lîehandiing af saadanne Anvendelser haves i det nys anførte 

 mindre Skrift af A polio ni o s om Forhold ssnitt et. Der som mange andre Steder ere 

 vel de Opgaver, der føres tilbage til Fladcanlæg, fra første Færd af geometriske; men vi 

 have alt anført, at den hele Behandlingsmaade i dette Skrift falder nær sammen med en 

 algebraisk Behandling af samme Opgave. Der gaas saa systematisk til Værks, at det ses, 

 al Fladeanlæg ikke for de gamle var el Hjælpemiddel, som vel kan anvendes ofte men dog 

 temmelig tilfældig i Geometrien , men at det var en Bestemmelsesform , som man princip- 

 mæssig stiler hen imod, hvor Opgaver overhovedet kunne løses ved Ligninger af 2den Grad. 



Hvad nu Løsninger af numeriske Ligninger angaar, maatte man, selv om det over- 

 hovedel var Euklids Skik at give Exempter, ikke vente al trælle saadanne i 2den eller 6te 



') Ad denne Vej naar Cantor længsl tilbage, idel han (Vorlesungen, S. 3/il) har paavist en numerisk 

 Løsning at cu kvadratisk Ligning hos Heron (omtrent 100 før Chr.). 



