23 



lîog. El 'l'aliîxempel vilde — hvis Rødderne ii<i\e som negativ(! eiler imaginære laa helt 

 udenfor Grækernes Opfattelse — enten fure til ralionalc eller irraliunale Rødder. I fHrste 

 Tilfælde vilde et saadant Talexempel være at betragte som vildledende, da det let vilde give 

 den fejle Forestilling, at den fundne Løsning kun var anvendelig paa de rationale Størrelsers 

 snævrere Omraade; det raaatte i ethvert Tilfælde henvises til 7de — 9de IJog, hvis liehandling 

 af dette snævrere Omraade dog helt igjennem er af en for theorelisk BeskalTenhed til, al 

 man der var berettiget til at vente Exempler paa praktisk gjennemførte Regninger. 



Bliver derimod Løsningen irrational, er den ikke mere numerisk efter do gamles 

 Talbegreb, men en saadan, hvor den geometriske Fremstilling betragtedes som uimdværlig. 

 Undersøgelserne af, om dette indtræder eller ikke, cre henviste til Euklids I Ode Bog, som 

 saaledes ved sin blotte Existens er et Vidnesbyrd om, at man har anvendt Læren om 

 Løsning af kvadratiske Ligninger paa numeriske Opgaver. Særlig kan poges hen paa Sæt- 

 ning 18, som udtrykkelig slutter sig til vor Ligning (3) (11, h; VI, 28) eller endnu more 



umiddelbart til den, hvor ù er ombyttet med — - , allsaa 



ax — X- ^ -r 

 4 



i dens antike geometriske Form, og oplyser, at den nødvendige og tilstrækkelige Betingelse 

 for, at man ved denne Ligning deler a i kommensurable Stykker, er, at Siden i det Kvadrat, 

 som er Differens mellem a- og 6-, eller Va- — ô-, er kommensurabel med a. Vi finde 

 med andre Ord Betingelsen for, at, naar a antages given i Talværdi (eller tagen til Enhed), 

 Delenes Forhold til Enheden kunne udtrykkes ved Tal, eller at Rndderne ere rationale. 

 Beviset er bygget paa Sætningen II, o, altsaa paa Ligningens geometriske Løsning. 



Da nu Spørgsmaalet om Rationalitet eller Irrationalitet kun har Betydning, nanr 

 man gaar ud fra kommensurable Størrelser eller saadanne, som kunne fremstilles ved Tal, 

 og da gaar ud paa, om man ogsaa kommer til kommensurable Størrelser, og om Løsningen 

 altsaa ogsaa efter de gamles Opfattelse kan numerisk gjennemføres, foreligger her et aldeles 

 bestemt Bevis for, at de gamle ogsaa anvendte deres Losning af kvadratiske 

 Ligninger paa numeriske Opgaver. 



Til denne Begrundelse knytter sig en ny og betydningsfuld Anvendelse af Euklids 

 10de Bog. Denne indeholder en Række Sætninger om, at forskjellige — i do gamles 

 geometriske Form fremstillede — Udtryk, som indeholde forskjellige Kvadratroduddragningor, 

 ere irrationale. Af disse Sætninger bør man vistnok slutte, at man har kjendt og behandlol 

 de Ligninger, som føre til disse Udtryk. At niati har forsogl al løse dom niiniorisk 

 (o: rationalt) i do Tilfælde, hvor dette har været muligt, l'remgaar af Paa\isniugoruo af 

 saadanne Losningers Umulighed. Beviser for, al noget or umuligl , ero som bokjendl ikke 



