24 



leite at føre, og Opstillingen af saa mange herhen horende Sætninger vidner saaledes om 

 en meget indgaaende Beskjæftigelse. 



Tannery er. i det citerede lille Skrift, kommen til det Resultat, at de I^igninger 

 af højere Grad, hvorom der saaledes forehgger Vidnesbyrd for, at de gamle have behandlet 

 dem, ere Ligninger af anden Grad i x- eller æ*. Ved at benytte 10de Bog i sit Bevis for 

 det tidlige Kjendskab ogsaa til den numeriske Løsning af kvadratiske Ligninger, har han 

 saaledes faaet ud, at man paa og før Euklids Tid ikke blot har behandlet selve disse Lig- 

 ninger, men bar strakt sin Behandling til saadanne, som kunne føres tilbage dertil. De 

 Omdannelser af irrationale Størrelser, som Euklid benytter i Beviserne, falde for en Del 

 sammen med vor Omdannelse af dobbelt irrationale Størrelser til enkelte. 



Naar vi saaledes se, at der bagved Euklids Elementer laa et ældre Kjendskab til 

 den numeriske Løsning af kvadratiske Ligninger, som vist nok af numeriske Behandlinger 

 af andre mere elementære Opgaver, bliver Betydningen af hele anden Bog os mere klar. 

 Den er antaget læst af Folk . som forud havde eller samtidig erhvervede sig et praktisk 

 Kjendskab til saadanne Regneregler, og har skullet supplere disse med de stringente Be- 

 viser, hvis Almengyldighed gjorde dem anvendelige ikke blot paa de numeriske Opgaver, 

 men ogsaa paa de geometriske undersøgelser, hvormed Euklid i det følgende skal be- 

 skjæflige sig. Beviserne [5 og 6] for Løsningerne af de kvadratiske Ligninger ere saaledes 

 anførte ved Siden af Beviserne for Sætninger, der udtrykke saadanne algebraiske Formler, 

 som man ogsaa lærer udenad i vore Skoler, nemlig Udtrykket for (a-\-b]- [i 4], for {a — bf 

 [i 7] og for {a-\-b]{a — b] [i 8]. Disse forskjellige Sætningers geometriske Betydning vises 

 strax ved Anvendelsen paa Højdelingsopgaven [11]: paa Relationen mellem Siderne i en 

 , Trekant og den enes Projektion paa en anden [12 — 13j, som vistnok ogsaa selv forud har 

 været anvendt til numerisk Udførelse af geometriske Beregninger; endvidere paa Omdannelsen 

 af et Rektangel til et Kvadrat [14] eller den geometriske Kvadratrodsuddragning, der er et 

 Hovedled i de kvadratiske Ligningers geometriske Anvendelse, men ikke har nogen til- 

 svarende aritlimetisk Betydning. At den kommer sids.l, slemmer derfor med hele vor Op- 

 fattelse af denne Bog. 



.Medens de tre første Sætninger blot ere indledende, maa vi dog for at hævde 

 vor Opfattelse endnu kunne anvise de manglende Sætninger 9 — 10, for hvilke man i 

 Nutiden ikke synes at have synderlig Brug, en bestemt Betydning. De skrive sig fra en 

 TiiJ. da di^n numeriske Kvadratrodsuddragning voldte større Vanskelighed end nu, og da 

 man derfor satte Pris paa at besidde et særligt Middel til at beregne en Række Tilnær- 

 melsesværdier til i/2. Et saadant .Middel haves i en Sætning, som findes hos en arith- 

 melisk Forfatter fra den senere Oldtid, i'heon fra Smyrna, og hos ham er fremdraget af 



