25 



Can lor'), men som, efter hvad Tannery-) har paavisL, synes al have været kjendt allerede 

 paa I'lalos 'J'id. Del er — hvad jeg ikke har set bemærket — det exakte og almen- 

 gyldige Bevis for denne Sætning, som Enklid giver i Sætningerne 9 og 10 af anden l5og 

 i den Form, som Beviset maatte antage paa dette Sted. Her er det altsaa ogsaa en Regne- 

 regel, der har kunnet antages bekjendt for Læserne, som Euklid begrunder. 



Ved Paavisningen af denne Betydning af Sætningerne 9 og 10 skulle vi hellere 

 end fra de Omskrivninger, hvorved vi tidligere have søgt at komme de to Euklidiske Sæt- 

 ninger saa nær som muligt, gaa ud fra selve de tilhørende Figurer. Idet C (Fig. 5 a og b) 

 er Midtpunktet af Linien AB, D et andet Punkt af denne (Sætn. 9) eller dens Forlængelse 



(Sætn. 10), er^) 



AB-" -f i>52 = 2 JC2 + 2 CI)-^ 



eller AD"" —2 AC = 2 CB^ — DB'' . 



A CDBA C BD 



I 1 1 1 I— 1 1 1 



Kig. 5 a. Fig. 5 b. 



Sætte vi paa Fig. 5 a, CD = x, DB = ?/, bliver AD = 2x -\-y, AC = x ^y. Det 



ses altsaa, naar x o^ y ombyttes med Tal, at man af en Løsning (x, ?/) af den ene af 



Ligningerne 



2a;2 —^2 = 4_l 



kan udlede en i højere Tal af den anden, nemlig {x-{-y, 2x-{-y). Det samme Re- 

 sultat kunde udledes af Sætning 10 (Fig. 5 b) ved Omskrivning til 



AD^ — ICD-' = iAC'—BD^.') 



Vi have her set, at det Kjendskab til Ligninger af anden Grad, som allerede havdes 

 før Euklids Tid, og som navnlig faar Udtryk i hans anden Bog, ikke var overfladisk og 

 tilfældigt, men forbundet med fuldstændig Viden om, hvad disse Ligninger kunne bruges til 



>) Vorlesungen S. 369. 



2) Revue philosophique, t. XI S. 291. 



^) Sætningen gjælder som bekjendt ogsaa, naar D ikke ligger paa Linien. 



') I Overensstemmelso hermed har jeg i Tidssiirift for Mathematik 1S79, s"ögt en Forklaring af Archi- 

 medes' Tilnærmelsesbrøker til Vs, som ere Kjædebrokskonvergenter, men ikke sukcessive Kjæde- 

 brakskonvergenter, ved en paa Euklid II, 5 grundet Hehandling af Ligningerne 



x" —3y- = 1 , 

 3 7/' — æ= = 2 . 

 Da Tannery, uafhængig af mit Arbejde, har fort den samme Tanke videre, og da Weissenborn 

 senere har fundet en sandan Løsning af de samme Gaader hos Archimedes, som ogsaa strækker sig 

 til andre antike Roduddragninger, skal jeg angaaende en Uklarhed, som Günther tillægger mig 

 (Die quadratischen Irrationalilälen der Alten S. 90), kun bemærke, at den beror paa .Misforslaaelse 

 af min paa dansk skrevne Artikel. 



Vidensk. Selsk. Skr, 6. Riekko, iiaturvidensk. off matliem. Afd. III. I. 4 



