30 



sige, at, som i de ved Fig. 6 og 7 fremslillede Ligningor (5), to variable Arealer ere lige 

 store, elier endog at et variabelt Areal beholder en konstant Værdi. 



I Løsningerne af Ligninger af anden Grad har man endvidere haft et Middel til 

 Bestemmelse af Skjæringspunkter med rette Linier, og i den til Ligninger af anden Grad 

 hørende Diorisme (Kukl. VI, 27) Betingelsen for Berøring og derved et Middel til Tangent- 

 bestemmelser. Under hvilke særlige Former dette Middel anvendtes, og de omtalte Ko- 

 ordinatændringer foretoges, vil ses af det følgende. 



Ligningerne for Keglesnittene maa stadig opfattes som Ligninger af første Grad 

 mellem Arealer. Hvis man overfor en græsk Mathematiker overalt vilde ombytte disse med 

 deres Udiryk ved Produkter af Linier, vilde han sikkert betragte dette som et Tegn paa 

 Uvidenhed om, al ikke alle Størrelser af samme Art have et fælles Maal; men hvor de 

 have dette, og hvor altsaa de Størrelser, som multipliceres, kunne fremstilles ved rationale 

 Tal, vilde han efter vor Mening selv kjende og kunne benytte denne Ombytning. Hermed 

 følger, at han rimeligvis ogsaa praktisk har gjort det samme, naar Rationaliteten ikke 

 under Sted, og naar det blot gjaldt om et tilnærmet Resultat; men dette har da ligget 

 udenfor den exakte Geometri. 



Forbindelsen med den geometriske Algebra forklarer ogsaa, hvorfor det i Oldtiden 

 kun har været Keglesnitslæren, som er bleven fuldstændig udviklet, medens Undersøgelser 

 over Kurver af højere Orden ere forblevne mere sporadiske. 1 disses Fremstilling var det 

 ikke som ved Keglesnittene nok at fremstille Konstanterne ved Forhold for at faa Lig- 

 ningen fremstillet i en overskuelig og bekvem geometrisk Form. En Kurve af tredie Orden 

 kunde man ganske vist endnu fremstille ved en Relation mellem Rumfange); men med 

 disse ]ader der sig ikke operere saa umiddelbart som med Arealer. Blev Kurven af endnu 

 højere Orden , havde man ingen anden Fremstilling af de i dens Ligning indgaaende Pro- 

 dukter af mere end 3 variable Størrelser end de, i dette 'Hilfælde temmehg uhandlelige, 

 sammensatte Forhold. 



Herpaa haves Exempler i Pappos' Fremstillinger-) af geometriske Steder for 

 Punkter, hvis Afstande fra to Systemer faste rette Linier danne Produkter, som staa i et 

 givet Forhold. Disse Steder, hvis Fremstilling Pappos anfører som en Udvidelse af en i 

 Oldtiden vel bekjendt Bestemmelse af Keglesnittene, uden dertil at knytte nogen nærmere 

 Undersøgelse, møde vi igjen i Descartes' Geometri, hvor de netop vise, i hvilken Ret- 

 ning hans analytiske Geometris Overlegenhed over den gamle er at søge. 



Paa Grund af den Rolle, som den geometriske Algebra spiller i den antike Kegle- 

 snitslære, har del været mig af Vigtighed for mine Undersøgelser af denne at erhverve mig 



At denne Fremsliiling, hvorom meve senere, luivendtes ogsaa paa numeriske Undcrsogelser, ses af 

 Navnene solide og liuliislie Tal og af, at Benævnelsen ligedannede ogsaa anvendtes paa Tal, 

 der forholde sig som Kubiktal. 

 Hultsch Udgave S. 6S0. 



