32 



Eiilokios Bevis for 6le Lemma til 3die Bog turde derfor ogsaa ligge Apollonios' egen Be- 

 tragtning nærmere end det Bevis, som Pappos anfører. I alle Tilfælde have de Operationer, 

 som vi vide, at de gamle kjendte, faktisk været det letteste IMiddel til at verificere disse 

 Paastande, og det er derfor berettiget at bruge dem til Øvelse i disse Operationer*). 



Andet Afsnit. 

 Keglesnitsliniernes plangeometriske Definition; dennes Form hos ArcMmedes. 



Keglesnitsliniernes første og nærmeste Frembringelse var hos Grækerne den, der 

 umiddelbart ligger i deres fælles Navn, nemlig som plane Snit i cirkulære Kegler, 

 og de 3 flovedarter af Keglesnit defineredes ved de bestemte Kegler, hvori, og den Maade, 

 hvorpaa de frembragtes. I denne Henseende bar man sig dog forskjelligt ad til de for- 

 skjellige Tider. De ældre Geometrere definerede de tre forskjellige Keglesnit (Ellipse, Parabel, 

 Hyperbel) efter Keglernes forskjellige Beskaffenhed og kaldte dem Snit i spidsvinklede, 

 retvinklede eller stumpvinklede Kegler, idet de tænkte sig Snittene vinkelrette paa 

 en Frembringer i en Omdrejningskegle, og denne definitionsmæssige Skjælnen mellem 

 de tre Keglesnit vedblev, efterat man havde opdaget, at ogsaa andre Snit i andre cirkulære 

 Kegler henhøre under en af de tre ved den snævrere begrænsede Frembringelsesmaade 

 definerede Kurvearter. Heri var der intet unaturligt; thi ikke blot betænker man sig altid 

 paa at forandre noget ved overleverede Definitioner, hvortil der allerede knytter sig gjen- 

 nemførte Systemer af Sætninger, Konstantbestemmelser m. m., men det ligger Ogsaa nær 

 og er logisk fuldt berettiget at indsnævre det Apparat, som benyttes i Definitionerne saa 

 meget, som ske kan uden derved at indsnævre selve de definerede Begreber, og da for- 

 beholde Sætningerne at vise, at de definerede Begreber kunne optræde i mere alminde- 

 lige Omgivelser. Man finder det jo saaledes meget naturligt, naar i moderne Lærebøger 

 i analytisk Geometri Keglesnittene defineres ved simple Egenskaber eller ved simple 

 Ligninger, og det først bagefter bevises, at de Kurver, som bestemmes ved den alminde- 

 lige Ligning af anden Grad, ikke ere andre end dem, man allerede har faaet ved de simp- 

 lere Ligninger. 



Som der imidlertid ogsaa er Lærebøger i analytisk Geometri, som have opgivet 

 den her sammenligningsvis omtalte elementære Fremgangsmaade, og helt omvendt begynde 



') Vil man for at opnaa slorre Øvelse have noget vanskeligere Exempter, kan jeg deitil anbefale at 

 verificere Sætningerne 124 og 125 i Pappos 7(ie Bog ved den geometriske Algebra. 



