33 



med al opstille det almindelige lU'grcb: kurver af anden Orden, definerede ved den almin- 

 delige Feigning af anden Grad, og definere de enkelte Kurvearter ved Relationer mellem' 

 Konstanterne i denne almindelige Ligning, saaledes maatte der ogsaa, da man var bleven 

 fortrolig med Betragtningen af anderledes bestemte Snit i Kegler end de i de gamle Defi- 

 nitioner forudsatte, komme den Tid, da en Geometer som Apollon io s fandt paa at tage 

 den almindelige Bestemmelsesmaade til Udgangspunkt og definere Ellipse, Parabel og 

 Hyperbel ved den almindeligste Maade, livorpaa de frembringes i vilkaarlige cirkulære Kegler. 

 Om end, som vi skulle se, dette Skridt har været vel forberedt i videnskabelig Hen- 

 seende — hvormed jeg mener i Henseende til Kjendskab til dertil fornødne Sætninger — , 

 ser man dog af første Bog af Apollonios' Keglesnitslære, at det i systematisk Henseende 

 frembød ikke ringe Vanskeligheder: det er nemlig først ved Slutningen af denne første 

 Bog, i hvilken allerede maa medtages Udviklingen af ikke fàa plangeometriske Egenskaber, 

 at man ser, at Snittene i de forskjellige Kegler ere identiske, og alle kunne lægges ind 

 paa Omdrejningskegler. 



Den her givne Fremstilling af Forholdet imellem Apollonios og hans Forgængere i 

 Henseende til Frembringelse af Kurverne som Snit i Kegler stemmer ikke fuldstændig med 

 de ved Eutokios opbevarede Ytringer^) af G em in os. Det hedder nemlig i Slutningen af 

 Eutokios' Referat, efterat der er gjort Rede for de gamles Frembringelse ved Snit vinkel- 

 rette paa en Frembringer: «Men senere saa Apollonios fra Perge i Almindelighed, at alle 

 Snit findes i enhver Kegle, ret eller skjæv, alt efter Planens forskjellige Heldning mod 

 Keglen.» Denne Ytring, efter hvilken Apollonios altsaa skulde være den første Opdager 

 af, at andre Snit end de vinkelrette paa en Frembringer have samme Egenskaber som disse, 

 og som endnu bringer Cantor til med megen Styrke at gjøre dette gjældende , strider 

 imidlertid fuldstændig med, at Archimedes i Begyndelsen af Skriftet om Konoider og 

 Sfæroider-| udtrykkelig udtaler som noget bekjendt, at alle Snit i en Kegle, som træffe 

 alle Frembringere, ere Ellipser (eller Cirkler), og med at en Udtalelse i lignende Retning 

 allerede findes i Euklids Fænomener^). Det kan nemlig ikke godt tænkes, at dette er 

 fundet paa anden Maade end en saadan, som samtidig maa have vist, at de ved den ældre 

 Bestemmelse bekjendte hyperbolske og parabolske Snit kunne frembringes paa en lige saa 

 almindelig Maade som de elliptiske, hvilke Archimedes nævner, fordi han har særlig Brug 

 for dem. Heri vil man blive bestyrket ved de videre Undersøgelser, som Archimedes 

 knytter til de forskjellige elliptiske Snit, og som vi snart skulle omtale. 



') Se Uallej's L'dgave af Apollonios' Keglesnit ,S. 9. Geminos' Viriisonilieil lienla'uger Caiilor til efter 



Aar 77 før Chr. 

 2) Heibergs Udgave I S. 2SS. 

 '] Delte Sled har Heiberg, som tidligere i Zeilschr. f. Math., hist, Ablh., XXV. 2 havde sainnienstillel 



de Steder, hvov Arehimedes omtaler Kegksiiitlrne, fiemdr.nget i •Lilloraliirgescliiclitliclie Suidieii 



über Euklid. S. SS. 



ViJensk. Selsk, Skr., C. Række, naluvviilcnsk. og mailioni .\M. Ul. 1. 5 



